Calcule a derivada direcional da função
, no ponto
e na direção perpendicular à direção da reta
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
. A direção que a gente vai seguir é perpendicular à direção da reta
. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, vetores normais, e como encontrar a direção certa para a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional em uma direção qualquer é calculada usando as derivadas parciais da função. A fórmula geral é:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
é o vetor unitário na direção que queremos.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a direção perpendicular à reta
. Uma reta da forma
tem um vetor normal
. Então, para a nossa reta, o vetor normal é
.
Passo 4
A direção perpendicular à direção da reta é, na verdade, a própria direção da reta. Mas como queremos a direção perpendicular a essa, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a
. Um vetor perpendicular a
pode ser
.
Passo 5
Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário para poder usar na fórmula da derivada direcional. O comprimento de
é:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Passo 7
Vamos avaliar essas derivadas no ponto
:
Passo 8
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção perpendicular à reta dada é
.