Calcule a derivada direcional da função , no ponto e na direção perpendicular à direção da reta .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto . A direção que a gente vai seguir é perpendicular à direção da reta . Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas parciais, vetores normais, e como encontrar a direção certa para a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional em uma direção qualquer é calculada usando as derivadas parciais da função. A fórmula geral é:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e é o vetor unitário na direção que queremos.
Passo 3
Agora, precisamos identificar a direção perpendicular à reta . Uma reta da forma tem um vetor normal . Então, para a nossa reta, o vetor normal é .
Passo 4
A direção perpendicular à direção da reta é, na verdade, a própria direção da reta. Mas como queremos a direção perpendicular a essa, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a . Um vetor perpendicular a pode ser .
Passo 5
Agora, vamos transformar esse vetor em um vetor unitário para poder usar na fórmula da derivada direcional. O comprimento de é:
Então, o vetor unitário é:
Passo 6
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
Passo 7
Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Passo 8
Agora, usamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto na direção perpendicular à reta dada é .