Considerando a função
e o vetor
, calcule o gradiente, o divergente e o rotacional.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! Aqui, a gente tem uma função escalar
e um vetor
. O que precisamos fazer é calcular o gradiente de
, o divergente de
e o rotacional de
. Para isso, vamos lembrar das definições de cada um desses termos e aplicá-las passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis.
A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada em relação a x:
- Derivada em relação a y:
- Derivada em relação a z:
Então, o gradiente é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o divergente do vetor
. O divergente é uma medida de quanto o vetor está “saindo” de um ponto e é calculado somando as derivadas das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.
A fórmula do divergente é:
Vamos calcular cada derivada:
- Derivada de
em relação a x:
- Derivada de
em relação a y:
- Derivada de
em relação a z:
Somando tudo:
Passo 4
Por último, vamos calcular o rotacional (ou curl) do vetor
. O rotacional indica a tendência do vetor de girar em torno de um ponto e é calculado usando as derivadas cruzadas das componentes do vetor.
A fórmula do rotacional é:
Vamos calcular cada termo:
- Componente i:
Então:
- Componente j:
Então:
- Componente k:
Então:
Portanto, o rotacional é:
Resposta
O gradiente de
é:
O divergente de
é:
O rotacional de
é: