Considerando a função e o vetor , calcule o gradiente, o divergente e o rotacional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! Aqui, a gente tem uma função escalar e um vetor . O que precisamos fazer é calcular o gradiente de , o divergente de e o rotacional de . Para isso, vamos lembrar das definições de cada um desses termos e aplicá-las passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que mostra a direção de maior aumento da função e é calculado pelas derivadas parciais em relação a cada uma das variáveis.
A fórmula do gradiente é:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada em relação a x:
  • Derivada em relação a y:
  • Derivada em relação a z:
Então, o gradiente é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o divergente do vetor . O divergente é uma medida de quanto o vetor está “saindo” de um ponto e é calculado somando as derivadas das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.
A fórmula do divergente é:
Vamos calcular cada derivada:
  • Derivada de em relação a x:
  • Derivada de em relação a y:
  • Derivada de em relação a z:
Somando tudo:

Passo 4

Por último, vamos calcular o rotacional (ou curl) do vetor . O rotacional indica a tendência do vetor de girar em torno de um ponto e é calculado usando as derivadas cruzadas das componentes do vetor.
A fórmula do rotacional é:
Vamos calcular cada termo:
  • Componente i:
Então:
  • Componente j:
Então:
  • Componente k:
Então:
Portanto, o rotacional é:

Resposta

O gradiente de é:
O divergente de é:
O rotacional de é:

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