(3) u=y cdot ln (x^2+y^2) ; x=2 s+3 t e y=3 t-2 s. Encontrar: partial upartial s e partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e também dependem de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos identificar as funções dadas:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Isso significa que para encontrar e , precisamos considerar como e mudam com e .

Passo 4

Vamos começar encontrando partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s . Aplicamos a regra da cadeia:
Precisamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 5

Calculando u = y cdot ln (x^2 + y^2) :
partial upartial x = y cdot 2xx^2 + y^2 = 2xyx^2 + y^2
Derivando em relação a :

Passo 6

Calculando partial upartial y = ln (x^2 + y^2) + y cdot 2yx^2 + y^2 = ln (x^2 + y^2) + 2y^2x^2 + y^2 :

Passo 7

Agora, encontramos partial xpartial s = 2 e partial ypartial s = -2 :

Passo 8

Substituímos tudo na expressão da derivada parcial:
partial upartial s = (2xyx^2 + y^2) cdot 2 + (ln (x^2 + y^2) + 2y^2x^2 + y^2) cdot (-2)
Simplificando:
partial upartial s = 4xyx^2 + y^2 - 2ln (x^2 + y^2) - 4y^2x^2 + y^2

Passo 9

Agora, vamos encontrar partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t usando a regra da cadeia:

Passo 10

Calculando partial xpartial t = 3 e partial ypartial t = 3 :

Passo 11

Substituímos na expressão da derivada parcial:
partial upartial t = (2xyx^2 + y^2) cdot 3 + (ln (x^2 + y^2) + 2y^2x^2 + y^2) cdot 3
Simplificando:
partial upartial t = 6xyx^2 + y^2 + 3ln (x^2 + y^2) + 6y^2x^2 + y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial s = 4xy - 4y^2x^2 + y^2 - 2ln (x^2 + y^2)
e
partial upartial t = 6xy + 6y^2x^2 + y^2 + 3ln (x^2 + y^2)

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