(3) e . Encontrar: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função , onde e também dependem de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é derivada parcial. Quando temos uma função com várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma delas mostra como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo as outras constantes.

Passo 3

Vamos identificar as funções dadas:
Aqui, depende de e , que por sua vez dependem de e . Isso significa que para encontrar e , precisamos considerar como e mudam com e .

Passo 4

Vamos começar encontrando . Aplicamos a regra da cadeia:
Precisamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 5

Calculando :
Derivando em relação a :

Passo 6

Calculando :

Passo 7

Agora, encontramos e :

Passo 8

Substituímos tudo na expressão da derivada parcial:
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos encontrar usando a regra da cadeia:

Passo 10

Calculando e :

Passo 11

Substituímos na expressão da derivada parcial:
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

(6) Se , mostre que:
Considere o campo vetorial no espaço tridimensional dado por:
Para calcular
é necessário parametrizar a curva C em questão.
Supondo que a curva C seja parametrizada na seguinte forma:
com , qual será o valor correto obtido por meio do cálculo da integral , considerando o campo e a curva apresentados?
Dados: fórmulas

- Integrais de linha

*Lembre-se que é possível estender para o espaço cartesiano (tridimensional).
Anexo - Consulte a imagem em melhor resolução no final do cadernos de questões.
A)
O valor correto será aproximadamente 22,3.
B)
O valor correto será aproximadamente 19,7.
C)
O valor correto será aproximadamente 15,9.
D)
O valor correto será aproximadamente 5,3.
E)
Em um dado instante o comprimento de um cateto de um triângulo retângulo é 6 cm e cresce à razão de e o comprimento de outro cateto é 8 cm e decresce à razão de . Encontre: (a) A razão de variação da hipotenusa do triângulo retângulo, no dado instante.
Calcule a derivada direcional da função no ponto e na direção:
(a) do eixo ;