Calcule a derivada direcional Da função no ponto em direção ao ponto .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto . A derivada direcional nos mostra a taxa de variação da função na direção específica de um vetor.
Para resolver isso, vamos precisar:
Gradiente da função: Vetor que aponta na direção de maior subida da função.
Vetores direcional: Direção do ponto para o ponto .
Produto escalar: Para calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor direção que vai de até . Subtraímos as coordenadas de das de :
Passo 3
Agora, vamos normalizar esse vetor direção para que ele tenha comprimento 1. A normalização é importante porque a derivada direcional usa a direção pura, sem considerar o tamanho do vetor.
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unit��rio na direção de é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável:
Calculando cada derivada parcial:
Passo 5
Vamos avaliar o gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
Finalmente, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário :
Fazendo as contas:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é: