Calcule as integrais iteradas.
integral-1^1 integralx^3^x+1(3 x+2 y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral iterada:
integral-1^1 integralx^3^x+1(3 x+2 y) , dy , dx
Esse exercício envolve o cálculo de integrais duplas, que fazem parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Iteradas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx^3^x+1 (3x + 2y) , dy :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a , então podemos integrar termo a termo.

Passo 3

Integrando integral 3x , dy = 3x cdot y em relação a integral 2y , dy = y^2 :
3x cdot y + y^2 |x^3^x+1
E integrando em relação a :
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, substituímos os limites de integração 3x (x + 1) + (x + 1)^2 - [3x cdot x^3 + (x^3)^2] e (3x^2 + 3x) + (x^2 + 2x + 1) - (3x^4 + x^6) :
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo esses na expressão:

Passo 5

Vamos juntar os termos semelhantes:
- x^6 - 3x^4 + 4x^2 + 5x + 1
Então, a integral interna nos dá:
- x^6 - 3x^4 + 4x^2 + 5x + 1

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a integral-1^1 (-x^6 - 3x^4 + 4x^2 + 5x + 1) , dx no intervalo de a :
Integramos termo a termo:

Passo 7

Aplicamos os limites de integração a cada termo:
[ -x^77 - 3x^55 + 4x^33 + 5x^22 + x ]-1^1
Substituindo - 17 - 35 + 43 + 52 + 1 :
- (-1)^77 - 3(-1)^55 + 4(-1)^33 + 5(-1)^22 + (-1)
E substituindo - 17 - 35 + 43 + 52 + 1 :
17 + 35 - 43 + 52 - 1
Simplificando os dois resultados:
Para :
Para :

Passo 8

Calculando a diferença entre os dois valores:
( -17 - 35 + 43 + 52 + 1 ) - ( 17 + 35 - 43 + 52 - 1 )
Simplificando:
- 27 - 65 + 83 + 0 + 2

Resposta

Somando tudo, obtemos:
-27 - 65 + 83 + 2 = 334105
Portanto, o valor da integral iterada é:
334105

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