Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral iterada:
Esse exercício envolve o cálculo de integrais duplas, que fazem parte do estudo de Cálculo Integral, mais especificamente de Integrais Iteradas. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
, então podemos integrar termo a termo.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
E integrando
em relação a
:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, substituímos os limites de integração
3x (x + 1) + (x + 1)^2 - [3x cdot x^3 + (x^3)^2] e
(3x^2 + 3x) + (x^2 + 2x + 1) - (3x^4 + x^6) :
Vamos simplificar cada termo:
Substituindo esses na expressão:
Passo 5
Vamos juntar os termos semelhantes:
Então, a integral interna nos dá:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
integral-1^1 (-x^6 - 3x^4 + 4x^2 + 5x + 1) , dx no intervalo de
a
:
Integramos termo a termo:
Passo 7
Aplicamos os limites de integração a cada termo:
Substituindo
- 17 - 35 + 43 + 52 + 1 :
E substituindo
- 17 - 35 + 43 + 52 + 1 :
Simplificando os dois resultados:
Para
:
Para
:
Passo 8
Calculando a diferença entre os dois valores:
Simplificando:
Resposta
Somando tudo, obtemos:
Portanto, o valor da integral iterada é:
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