Determine o trabalho realizado pelo campo de forga F(x, y) = e^(-y * i) - x * e^(-y * j) ao mover um objeto de P(0, 1) a Q(2,0) * 2

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força quando movemos um objeto do ponto P(0, 1) para o ponto Q(2,0). Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo de força F é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que . Para isso, vamos comparar as derivadas parciais dos componentes de F.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
Como , o campo F é conservativo.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função potencial . Sabemos que:
Integrando em relação a x:
Onde g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 5

Para determinar g(y), usamos a outra componente:
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:

Passo 6

O trabalho realizado pelo campo é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é -2 unidades de trabalho.

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