Determine o trabalho realizado pelo campo de forga
ao mover um objeto de
a
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular o trabalho realizado por um campo de força
quando movemos um objeto do ponto
para o ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e campos conservativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo de força
é conservativo. Um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, vamos comparar as derivadas parciais dos componentes de
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Como
, o campo
é conservativo.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 5
Para determinar
, usamos a outra componente:
Isso nos dá:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:
Passo 6
O trabalho realizado pelo campo é a diferença da função potencial nos pontos finais:
Calculando:
Então:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional Da função
no ponto
em direção ao ponto
.
Calcule as integrais iteradas.
Calcule as integrais iteradas.
Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares,
da função
.