Encontre a equação do plano tangente às seguintes superfícies.
no ponto
Passo 1
Beleza, então o que a gente precisa fazer aqui é encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e entender um pouco sobre gradientes, que vão nos ajudar a determinar a direção normal ao plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da superfície de um jeito que fique mais fácil de trabalhar. Vamos definir uma função
tal que:
Dessa forma, a superfície é o conjunto de pontos onde
.
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos calcular o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a
,
e
. O gradiente aponta na direção normal à superfície no ponto dado.
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é
.
Passo 5
Com o gradiente em mãos, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente é:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação do plano tangente à superfície
no ponto
é:
Se preferir, pode ser simplificada para:
Exercícios relacionados
Dada a função
no intervalo fechado
, determine os extremos absolutos de
nesse intervalo.
Considere o problema de otimização dado por:
Utilize multiplicadores de Lagrange para encontrar os pontos estacionários e determine os valores de
e
que maximizam
sujeito à restrição
.
Calcule as integrais iteradas.
Calcule a derivada direcional Da função
no ponto
em direção ao ponto
.