Calcule as integrais iteradas.
integral0^pi / 6 integral0^pi / 2(x cos y-y cos x) d y d x

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral dupla
integral0^pi / 6 integral0^pi / 2(x cos y - y cos x) , dy , dx
Isso está relacionado ao cálculo de integrais iteradas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar com respeito a integral0^pi / 2 (x cos y - y cos x) , dy = integral0^pi / 2 x cos y , dy - integral0^pi / 2 y cos x , dy :

Passo 3

Começando com o primeiro termo:
integral0^pi / 2 x cos y , dy
Aqui, x integral0^pi / 2 cos y , dy = x [sin y]0^pi / 2 = x (sin(pi / 2) - sin 0) = x (1 - 0) = x é uma constante em relação a , então podemos tirar da integral:

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo:
- integral0^pi / 2 y cos x , dy
Aqui, - cos x integral0^pi / 2 y , dy = - cos x [ y^22 ]0^pi / 2 = - cos x ( (pi / 2)^22 - 0 ) = - cos x cdot pi^28 é constante em relação a , então podemos tirar da integral:

Passo 5

Juntando os resultados dos dois termos integrados em x - pi^28 cos x , temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a integral0^pi / 6 ( x - pi^28 cos x ) , dx = integral0^pi / 6 x , dx - pi^28 integral0^pi / 6 cos x , dx no intervalo de a :

Passo 7

Calculando a primeira integral:
integral0^pi / 6 x , dx = [ x^22 ]0^pi / 6 = (pi / 6)^22 = pi^272

Passo 8

Calculando a segunda integral:
integral0^pi / 6 cos x , dx = [sin x]0^pi / 6 = sin(pi6) - sin(0) = 12 - 0 = 12

Passo 9

Substituindo os resultados das integrais:
pi^272 - pi^28 cdot 12 = pi^272 - pi^216

Passo 10

Para subtrair as frações, colocamos sobre o mesmo denominador:
pi^272 - pi^216 = 2pi^2144 - 9pi^2144 = -7pi^2144

Resposta

A integral dupla vale .

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