Calcule as integrais iteradas.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: precisamos calcular a integral dupla
Isso está relacionado ao cálculo de integrais iteradas em cálculo multivariável. Para resolver, vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, ou seja, integrar com respeito a
:
Passo 3
Começando com o primeiro termo:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então podemos tirar
da integral:
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo:
Aqui,
é constante em relação a
, então podemos tirar
da integral:
Passo 5
Juntando os resultados dos dois termos integrados em
, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão com respeito a
no intervalo de
a
:
Passo 7
Calculando a primeira integral:
Passo 8
Calculando a segunda integral:
Passo 9
Substituindo os resultados das integrais:
Passo 10
Para subtrair as frações, colocamos sobre o mesmo denominador:
Resposta
A integral dupla vale
.
Exercícios relacionados
Determine o trabalho realizado pelo campo de forga
ao mover um objeto de
a
Calcule a derivada direcional Da função
no ponto
em direção ao ponto
.
Use a fórmula (1) deduzida no item a) acima, para calcular o gradiente de u em coordenadas polares,
da função
.
Esboce a região
delimitada pelos gráficos das equações dadas. Se
é uma função contínua arbitrária, expresse
como uma integral iterada com
e com
.