Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por no ponto .
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Cálculo que pede para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações necessárias e construir as equações desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de para saber a coordenada z do ponto:
Então, o ponto em questão é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 7
Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso, o vetor normal é .
A reta normal que passa pelo ponto pode ser parametrizada da seguinte forma: