Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
dada por
no ponto
.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de Cálculo que pede para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações necessárias e construir as equações desejadas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
para saber a coordenada z do ponto:
Então, o ponto em questão é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto
é:
Substituindo os valores que temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é
.
Passo 7
Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais
. No nosso caso, o vetor normal é
.
A reta normal que passa pelo ponto
pode ser parametrizada da seguinte forma:
Resposta
A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é: