Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por no ponto .

Passo 1

Beleza, temos um exercício de Cálculo que pede para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas parciais para determinar as inclinações necessárias e construir as equações desejadas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de para saber a coordenada z do ponto:
Então, o ponto em questão é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações do plano tangente nas direções de e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral para o plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores que temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para deixá-la mais clara:
Então, a equação do plano tangente é .

Passo 7

Para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso, o vetor normal é .
A reta normal que passa pelo ponto pode ser parametrizada da seguinte forma:

Resposta

A equação do plano tangente é:
E a equação paramétrica da reta normal é:

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