(o) Qual valor f(1) deve assumir para remover a descontinuidade de f em x=1 ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para esboçar o gráfico de uma função que é definida por partes diferentes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Além disso, precisamos descobrir qual valor deve ter para que a função seja contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções por partes e continuidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
f(x) = x^2 - 1, & se -1 <= x < 0 2x, & se 0 < x < 1 1, & se x = 1 -2x + 4, & se 1 < x < 2 0, & se 2 < x < 3
Cada “faixa” de tem uma expressão diferente para . Nosso objetivo é entender como essas partes se conectam no gráfico e, especialmente, verificar o que acontece em .
Passo 3
Vamos lembrar rapidamente o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
está definido.
O limite de quando se aproxima de existe.
Esse limite é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em . Isso significa que o valor de deve ser igual ao limite de quando chega perto de 1, tanto pela esquerda quanto pela direita.
Passo 4
Vamos calcular o limite quando limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 2x = 2 times 1 = 2 se aproxima de 1 pela esquerda ( limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (-2x + 4) = -2 times 1 + 4 = 2 ) e pela direita ().
Pela esquerda ():
Aqui, usamos a expressão porque para , .
Pela direita ():
Aqui, usamos a expressão porque para , .
Passo 5
Vimos que ambos os limites, pelo lado esquerdo e direito, são iguais a 2. Para a função ser contínua em , o valor de também precisa ser 2.
Atualmente, a função define , o que cria uma descontinuidade, porque 1 não é igual a 2.
Passo 6
Portanto, para remover a descontinuidade em , precisamos ajustar o valor de de 1 para 2.
Resposta
O valor que deve assumir para remover a descontinuidade em é .