Esboce o gráfico da função:
(o) Qual valor deve assumir para remover a descontinuidade de em ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para esboçar o gráfico de uma função que é definida por partes diferentes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . Além disso, precisamos descobrir qual valor deve ter para que a função seja contínua em . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções por partes e continuidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
Cada “faixa” de tem uma expressão diferente para . Nosso objetivo é entender como essas partes se conectam no gráfico e, especialmente, verificar o que acontece em .

Passo 3

Vamos lembrar rapidamente o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
No nosso caso, queremos que a função seja contínua em . Isso significa que o valor de deve ser igual ao limite de quando chega perto de 1, tanto pela esquerda quanto pela direita.

Passo 4

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
Pela esquerda ( ):
Aqui, usamos a expressão porque para , .
Pela direita ( ):
Aqui, usamos a expressão porque para , .

Passo 5

Vimos que ambos os limites, pelo lado esquerdo e direito, são iguais a 2. Para a função ser contínua em , o valor de também precisa ser 2.
Atualmente, a função define , o que cria uma descontinuidade, porque 1 não é igual a 2.

Passo 6

Portanto, para remover a descontinuidade em , precisamos ajustar o valor de de 1 para 2.

Resposta

O valor que deve assumir para remover a descontinuidade em é .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico da função:
(n) Qual valor deveria ser atribuido para em para a função ser contínua em ?
Em quais intervalos do conjunto dos números reais as funções abaixo são contínuas ?
(b) .
Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada por no ponto .
Calcule a derivada direcional , onde e é o versor de . No ponto determine o vetor que possui direção e sentido de maior crescimento de . Em seguida, exiba qual é o valor da taxa de crescimento nesta direção.