Calcule a derivada direcional sendo dados:
f) e

Passo 1

Vamos ver o que o problema pede. Precisamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e vetoriais. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de na direção de é dada por:
Aqui, é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 6

Precisamos do vetor unitário na direção de . Primeiro, calculamos o comprimento de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar entre e :

Resposta

A derivada direcional é igual a .

Exercícios relacionados

Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
a) .
Considere que a função de demanda inicial para um serviço é . Devido a uma crise econômica, a demanda pelo serviço diminui, resultando em um novo deslocamento da função de demanda para .
a) Desenhe as duas curvas de demanda no mesmo gráfico.
b) Explique o efeito do deslocamento negativo da curva de demanda no mercado.
Identifique cada superfície
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
A continuação são mostradas funções para um intervalo de comprimento . Em cada caso, mostre as extensões par e impar de para um período igual a :
(e)