Calcule a derivada direcional partial fpartial u(Po) sendo dados:
f) f(x, y, z)=x^3 y^2 z ; P0(1,1,1) e u=(1,0,-1)

Passo 1

Vamos ver o que o problema pede. Precisamos calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e vetoriais. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e o conceito de gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de partial fpartial u = nabla f cdot uunit na direção de é dada por:
Aqui, é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a cada variável:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial fpartial x = 3x^2 y^2 z :
partial fpartial y = 2x^3 y z
partial fpartial z = x^3 y^2

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto nabla f (1,1,1) = ( 3(1)^2 (1)^2 (1), 2(1)^3 (1) (1), (1)^3 (1)^2 ) = (3, 2, 1) :

Passo 6

Precisamos do vetor unitário na direção de |u| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 . Primeiro, calculamos o comprimento de uunit = ( 1raiz2, 0, -1raiz2 ) :
Então, o vetor unitário é:

Passo 7

Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar entre partial fpartial u(P0) = (3, 2, 1) cdot ( 1raiz2, 0, -1raiz2 ) = 3 cdot 1raiz2 + 2 cdot 0 + 1 cdot -1raiz2 = 3 - 1raiz2 = 2raiz2 = raiz2 e :

Resposta

A derivada direcional é igual a .

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