Calcule a derivada direcional
sendo dados:
f)
e
f)
Passo 1
Vamos ver o que o problema pede. Precisamos calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais e vetoriais. Para resolver, vamos usar a definição de derivada direcional e o conceito de gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de
na direção de
é dada por:
Aqui,
é o gradiente da função
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
Passo 5
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 6
Precisamos do vetor unitário na direção de
. Primeiro, calculamos o comprimento de
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 7
Finalmente, calculamos a derivada direcional como o produto escalar entre
e
:
Resposta
A derivada direcional
é igual a
.