A continuação são mostradas funções para um intervalo de comprimento . Em cada caso, mostre as extensões par e impar de para um período igual a :
(e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de a (ou seja, com comprimento ). Especificamente, vale de e de . Nosso objetivo aqui é encontrar as extensões par e ímpar dessa função para um período igual a . Para isso, vamos precisar entender o que são extensões par e ímpar e como aplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares:
Função Par: É simétrica em relação ao eixo y. Matematicamente, .
Função Ímpar: É simétrica em relação à origem. Matematicamente, .
Para estender de para um período de , precisamos definir como se comporta nos intervalos negativos e depois repetir esse padrão a cada unidades.
Passo 3
Extensão Par:
Para criar uma extensão par, refletimos em relação ao eixo y. Isso significa que para negativo, .
Vamos construir a extensão passo a passo:
Para em :
Para em :
Simplificando:
Então, a função par fica assim em :
Extensão Ímpar:
Agora, para a extensão ímpar, refletimos em relação à origem. Isso significa que para negativo, .