A continuação são mostradas funções para um intervalo de comprimento . Em cada caso, mostre as extensões par e impar de para um período igual a :
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida no intervalo de a (ou seja, com comprimento ). Especificamente, vale de e de . Nosso objetivo aqui é encontrar as extensões par e ímpar dessa função para um período igual a . Para isso, vamos precisar entender o que são extensões par e ímpar e como aplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são funções pares e ímpares:
  • Função Par: É simétrica em relação ao eixo y. Matematicamente, .
  • Função Ímpar: É simétrica em relação à origem. Matematicamente, .
Para estender de para um período de , precisamos definir como se comporta nos intervalos negativos e depois repetir esse padrão a cada unidades.

Passo 3

Extensão Par:
Para criar uma extensão par, refletimos em relação ao eixo y. Isso significa que para negativo, .
Vamos construir a extensão passo a passo:
  1. Para em :
  2. Para em :
    Simplificando:
Então, a função par fica assim em :
Extensão Ímpar:
Agora, para a extensão ímpar, refletimos em relação à origem. Isso significa que para negativo, .
Vamos construir a extensão ímpar passo a passo:
  1. Para em :
  2. Para em :
    Simplificando:
Então, a função ímpar fica assim em :
í

Resposta

A extensão par de para um período igual a é:
E a extensão ímpar de para o mesmo período é:
í

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Identifique cada superfície
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule a derivada direcional sendo dados:
f) e
Calcule a inversa da Transformada de Laplace , sendo:
(b)
Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
(a)