Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
a) a(t) = (4 - t) i + (2 t) j, t ∈ [0, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico de uma curva que é descrita por uma função vetorial. A função que a gente tem é , onde t varia de 0 a 2. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em pontos no plano cartesiano e depois plotar esses pontos para ver a curva.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada parte da função vetorial representa. A função nos dá as coordenadas x e y de um ponto no plano para cada valor de t. Ou seja, a coordenada x é e a coordenada y é .

Passo 3

Agora, vamos calcular alguns pontos usando diferentes valores de t dentro do intervalo [0, 2]. Isso vai nos ajudar a entender como a curva se comporta.
  • Para :
    • Ponto: (4, 0)
  • Para :
    • Ponto: (3, 2)
  • Para :
    • Ponto: (2, 4)

Passo 4

Com esses pontos, gente já pode começar a visualizar a curva. Mas, para ter uma ideia mais clara, vamos ver como a relação entre x e y funciona. Sabemos que e . Podemos resolver uma dessas equações para t e substituir na outra para obter uma relação direta entre x e y.
Vamos resolver para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de y:

Passo 5

Agora temos a equação da reta que representa a curva: . Essa é a equação de uma linha reta com declive -2 e intercepto em y igual a 8. Mas, como o nosso parâmetro t varia de 0 a 2, precisamos ver os limites dessa reta dentro desse intervalo.
Quando , temos o ponto (4, 0), e quando , temos o ponto (2, 4). Então, a curva será apenas a parte da reta entre esses dois pontos.

Passo 6

Para esboçar o gráfico, vamos plotar os pontos que calculamos:
  1. (4, 0)
  2. (3, 2)
  3. (2, 4)
Depois, ligamos esses pontos com uma linha reta, já que a relação entre x e y é linear.

Resposta

O gráfico da curva é uma linha reta que vai do ponto (4, 0) até o ponto (2, 4), seguindo a equação , para t no intervalo [0, 2].

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