Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente fazer o gráfico de uma curva que é descrita por uma função vetorial. A função que a gente tem é
, onde
varia de 0 a 2. Para isso, vamos precisar entender como transformar essa função vetorial em pontos no plano cartesiano e depois plotar esses pontos para ver a curva.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada parte da função vetorial representa. A função
nos dá as coordenadas x e y de um ponto no plano para cada valor de t. Ou seja, a coordenada x é
e a coordenada y é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular alguns pontos usando diferentes valores de t dentro do intervalo [0, 2]. Isso vai nos ajudar a entender como a curva se comporta.
-
Para
: -
-
- Ponto: (4, 0)
-
-
Para
: -
-
- Ponto: (3, 2)
-
-
Para
: -
-
- Ponto: (2, 4)
-
Passo 4
Com esses pontos, gente já pode começar a visualizar a curva. Mas, para ter uma ideia mais clara, vamos ver como a relação entre x e y funciona. Sabemos que
e
. Podemos resolver uma dessas equações para t e substituir na outra para obter uma relação direta entre x e y.
Vamos resolver
para t:
Agora, substituímos esse valor de t na equação de y:
Passo 5
Agora temos a equação da reta que representa a curva:
. Essa é a equação de uma linha reta com declive -2 e intercepto em y igual a 8. Mas, como o nosso parâmetro t varia de 0 a 2, precisamos ver os limites dessa reta dentro desse intervalo.
Quando
, temos o ponto (4, 0), e quando
, temos o ponto (2, 4). Então, a curva será apenas a parte da reta entre esses dois pontos.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, vamos plotar os pontos que calculamos:
- (4, 0)
- (3, 2)
- (2, 4)
Depois, ligamos esses pontos com uma linha reta, já que a relação entre x e y é linear.
Resposta
O gráfico da curva é uma linha reta que vai do ponto (4, 0) até o ponto (2, 4), seguindo a equação
, para
no intervalo [0, 2].
Exercícios relacionados
Considere que a função de demanda inicial para um serviço é
. Devido a uma crise econômica, a demanda pelo serviço diminui, resultando em um novo deslocamento da função de demanda para
.
a) Desenhe as duas curvas de demanda no mesmo gráfico.
b) Explique o efeito do deslocamento negativo da curva de demanda no mercado.
a) Desenhe as duas curvas de demanda no mesmo gráfico.
b) Explique o efeito do deslocamento negativo da curva de demanda no mercado.
Confirme que
é uma função potencial de
b) e
.
b)
Calcule a derivada direcional
sendo dados:
f) e
f)
Identifique cada superfície
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)