Identifique cada superfície
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos identificar diferentes superfícies descritas por equações matemáticas. Isso está ligado à matéria de Geometria Analítica, especificamente às superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar reconhecer as formas padrão dessas superfícies e comparar com as equações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as superfícies quadráticas podem ser elipses, hipérboles, paraboloides, esferas, entre outras. Elas geralmente têm termos quadráticos em
,
e
, e a maneira como esses termos aparecem nos dá pistas sobre o tipo de superfície.
Passo 3
Vamos analisar a primeira equação:
a)
Aqui, todos os termos estão ao quadrado e somados. Isso se assemelha à equação de uma elipsoide, que tem a forma geral:
Podemos dividir ambos os lados da equação dada por 10 para colocá-la na forma padrão:
Isso confirma que é uma elipsoide.
Passo 4
b)
Nessa equação, só temos
e
. Isso indica que a superfície é uma paraboloide ou cilindro. Mas como não há termo em
, ela se estende indefinidamente ao longo do eixo
, formando um cilindro elíptico.
Dividindo por 16:
Isso mostra que é um cilindro elíptico.
Passo 5
c)
Essa equação tem termos quadráticos em
e
e linear em
. Ela representa um hiperboloide de uma folha. A forma geral é:
Comparando, vemos que é um hiperboloide de uma folha aberto ao longo do eixo
.
Passo 6
d)
Aqui, temos apenas
e
na equação. Isso sugere um cilindro elliptico novamente, porque não há termo em
.
Dividindo por 8:
Portanto, é um cilindro elíptico estendido ao longo do eixo
.
Passo 7
e)
Semelhante ao item ©, essa equação também tem termos quadráticos em
e
e linear em
. Assim, é outro hiperboloide de uma folha, mas aberto de maneira diferente dependendo dos sinais dos termos.
Passo 8
f)
Rearranjando a equação:
Isso se assemelha à forma geral de um hiperboloide de duas folhas:
Portanto, é um hiperboloide de duas folhas.
Resposta
(a) Elipsoide
(b) Cilindro elíptico
© Hiperboloide de uma folha
(d) Cilindro elíptico
(e) Hiperboloide de uma folha
(f) Hiperboloide de duas folhas
(b) Cilindro elíptico
© Hiperboloide de uma folha
(d) Cilindro elíptico
(e) Hiperboloide de uma folha
(f) Hiperboloide de duas folhas