Identifique cada superfície
(a) x^2 + y^2 + 4 z^2 = 10
(b) 9 y^2 + z^2 = 16
© x = y^2 - z^2
(d) x^2 + 2z^2 = 8
(e) x = z^2 - y^2
(f) x^2 + 4z^2 = y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos identificar diferentes superfícies descritas por equações matemáticas. Isso está ligado à matéria de Geometria Analítica, especificamente às superfícies quadráticas. Para resolver isso, vamos precisar reconhecer as formas padrão dessas superfícies e comparar com as equações dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as superfícies quadráticas podem ser elipses, hipérboles, paraboloides, esferas, entre outras. Elas geralmente têm termos quadráticos em , e , e a maneira como esses termos aparecem nos dá pistas sobre o tipo de superfície.

Passo 3

Vamos analisar a primeira equação:
a)
Aqui, todos os termos estão ao quadrado e somados. Isso se assemelha à equação de uma elipsoide, que tem a forma geral:
Podemos dividir ambos os lados da equação dada por 10 para colocá-la na forma padrão:
Isso confirma que é uma elipsoide.

Passo 4

b)
Nessa equação, só temos e . Isso indica que a superfície é uma paraboloide ou cilindro. Mas como não há termo em , ela se estende indefinidamente ao longo do eixo , formando um cilindro elíptico.
Dividindo por 16:
Isso mostra que é um cilindro elíptico.

Passo 5

c)
Essa equação tem termos quadráticos em e e linear em . Ela representa um hiperboloide de uma folha. A forma geral é:
Comparando, vemos que é um hiperboloide de uma folha aberto ao longo do eixo .

Passo 6

d)
Aqui, temos apenas e na equação. Isso sugere um cilindro elliptico novamente, porque não há termo em .
Dividindo por 8:
Portanto, é um cilindro elíptico estendido ao longo do eixo .

Passo 7

e)
Semelhante ao item ©, essa equação também tem termos quadráticos em e e linear em . Assim, é outro hiperboloide de uma folha, mas aberto de maneira diferente dependendo dos sinais dos termos.

Passo 8

f)
Rearranjando a equação:
Isso se assemelha à forma geral de um hiperboloide de duas folhas:
Portanto, é um hiperboloide de duas folhas.

Resposta

(a) Elipsoide
(b) Cilindro elíptico
© Hiperboloide de uma folha
(d) Cilindro elíptico
(e) Hiperboloide de uma folha
(f) Hiperboloide de duas folhas

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