Calcule a derivada direcional
sendo dados:
g)
g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor dado. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e vetores. Vamos usar a fórmula da derivada direcional, que vai nos ajudar a encontrar como a função muda na direção do vetor escolhido.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada direcional. Se temos uma função
e um vetor direção
, a derivada direcional de
na direção de
no ponto
é dada por:
Aqui,
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
:
-
-
(porque ) -
Passo 5
O vetor direção dado é
, então suas componentes são
,
e
.
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é igual a 18.
Exercícios relacionados
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
c)
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
e)
Determine o gradiente de
no ponto indicado:
b) .
b)
Dadas as funções
e
, encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.