Calcule a derivada direcional sendo dados:
g)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor dado. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e vetores. Vamos usar a fórmula da derivada direcional, que vai nos ajudar a encontrar como a função muda na direção do vetor escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada direcional. Se temos uma função e um vetor direção , a derivada direcional de na direção de no ponto é dada por:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
  • (porque )

Passo 5

O vetor direção dado é , então suas componentes são , e .

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é igual a 18.

Exercícios relacionados

Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
Determine o gradiente de no ponto indicado:
b) .
Dadas as funções e , encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.