Calcule a derivada direcional partial fpartial u(Po) sendo dados:
g) f(x, y, z)=y^2 ln (x)+z^2 ; Po(1,4,1) ; u=i-2 j+k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor dado. O conteúdo aqui envolve cálculo de derivadas parciais e vetores. Vamos usar a fórmula da derivada direcional, que vai nos ajudar a encontrar como a função muda na direção do vetor escolhido.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada direcional. Se temos uma função partial fpartial u(P0) = fx(x0, y0, z0) cdot a + fy(x0, y0, z0) cdot b + fz(x0, y0, z0) cdot c e um vetor direção , a derivada direcional de na direção de no ponto é dada por:
Aqui, , e são as derivadas parciais de em relação a , e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de fx = partialpartial x (y^2 ln(x) + z^2) = y^2 cdot 1x :
  • Derivada parcial em relação a fy = partialpartial y (y^2 ln(x) + z^2) = 2y ln(x) :
fz = partialpartial z (y^2 ln(x) + z^2) = 2z
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto :
  • (porque )

Passo 5

O vetor direção dado é , então suas componentes são , e .

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
partial fpartial u(P0) = (16) cdot 1 + (0) cdot (-2) + (2) cdot 1 = 16 + 0 + 2 = 18

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é igual a 18.

Exercícios relacionados