Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva representada pela função vetorial , onde é um número real. Isso está ligado ao conteúdo de funções vetoriais e gráficos de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função (, , ) se comporta em relação ao parâmetro .
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes , e :
Isso significa que, para qualquer valor de , o ponto na curva tem coordenadas .
Passo 3
Observando as equações, notamos que é sempre , independente de . Isso indica que a curva está completamente no plano no espaço tridimensional. Ou seja, a curva não varia na direção .
Passo 4
Agora, vamos relacionar e eliminando o parâmetro . Da equação , podemos isolar :
Substituindo na equação de :
Então, temos que no plano . Isso é uma parábola que abre para cima no plano .
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos. Por exemplo:
Se :
Se :
Se :
Se :
Plotando esses pontos no espaço, vamos ver que a curva forma uma parábola no plano , com o eixo da parábola ao longo do eixo .
Resposta
A curva representada pela função vetorial é uma parábola situada no plano no espaço tridimensional, com a equação . Para esboçar, trace uma parábola que abre para cima no plano horizontal onde sempre é igual a .