Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) e(t) = 2 t i + 2 j + 4 t^2 k, t em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva representada pela função vetorial , onde t é um número real. Isso está ligado ao conteúdo de funções vetoriais e gráficos de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função ( x, y, z) se comporta em relação ao parâmetro t.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes x, y e z:
Isso significa que, para qualquer valor de t, o ponto na curva tem coordenadas .

Passo 3

Observando as equações, notamos que y é sempre , independente de t. Isso indica que a curva está completamente no plano no espaço tridimensional. Ou seja, a curva não varia na direção y.

Passo 4

Agora, vamos relacionar x e z eliminando o parâmetro t. Da equação , podemos isolar t:
Substituindo t na equação de z:
Então, temos que no plano . Isso é uma parábola que abre para cima no plano .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Plotando esses pontos no espaço, vamos ver que a curva forma uma parábola no plano , com o eixo da parábola ao longo do eixo z.

Resposta

A curva representada pela função vetorial é uma parábola situada no plano no espaço tridimensional, com a equação . Para esboçar, trace uma parábola que abre para cima no plano horizontal onde y sempre é igual a .

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