Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente esboçar o gráfico da curva representada pela função vetorial , onde é um número real. Isso está ligado ao conteúdo de funções vetoriais e gráficos de curvas no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada componente da função ( , , ) se comporta em relação ao parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função vetorial nas suas componentes , e :
Isso significa que, para qualquer valor de , o ponto na curva tem coordenadas .

Passo 3

Observando as equações, notamos que é sempre , independente de . Isso indica que a curva está completamente no plano no espaço tridimensional. Ou seja, a curva não varia na direção .

Passo 4

Agora, vamos relacionar e eliminando o parâmetro . Da equação , podemos isolar :
Substituindo na equação de :
Então, temos que no plano . Isso é uma parábola que abre para cima no plano .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos considerar alguns pontos. Por exemplo:
  • Se :
  • Se :
  • Se :
  • Se :
Plotando esses pontos no espaço, vamos ver que a curva forma uma parábola no plano , com o eixo da parábola ao longo do eixo .

Resposta

A curva representada pela função vetorial é uma parábola situada no plano no espaço tridimensional, com a equação . Para esboçar, trace uma parábola que abre para cima no plano horizontal onde sempre é igual a .

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a) .
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c)
Calcule a derivada direcional sendo dados:
g)