Determine o gradiente de
no ponto indicado:
b)
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função
no ponto
. O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de
:
-
Derivada parcial em relação a
: Aqui, tratamoscomo uma constante. A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia: -
Derivada parcial em relação a
: Agora, tratamoscomo uma constante. Precisamos usar a regra do produto aqui, já que temos multiplicando :
Passo 3
Agora que temos as expressões para as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto
.
Primeiro, verifique se
é positivo, porque o logaritmo natural só é definido para valores positivos:
Agora, substituímos
e
nas derivadas:
- Para
:
- Para
:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional
sendo dados:
g)
g)
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
c)
Dadas as funções
e
, encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.
Suponha que existam dois consumidores no mercado com as seguintes funções de demanda individuais
Consumidor A:
Consumidor B:
Derive a função da demanda para o mercado
Qual será a quantidade demanda de mercado se o preço for R$ 5,00 e R$ 12,00
Consumidor A:
Consumidor B:
Derive a função da demanda para o mercado
Qual será a quantidade demanda de mercado se o preço for R$ 5,00 e R$ 12,00