Determine o gradiente de no ponto indicado:
b) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
  2. Derivada parcial em relação a :
    Agora, tratamos como uma constante. Precisamos usar a regra do produto aqui, já que temos multiplicando :

Passo 3

Agora que temos as expressões para as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .
Primeiro, verifique se é positivo, porque o logaritmo natural só é definido para valores positivos:
Agora, substituímos e nas derivadas:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O gradiente de no ponto é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada direcional sendo dados:
g)
Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
Dadas as funções e , encontre o preço e a quantidade de equilíbrio.
Suponha que existam dois consumidores no mercado com as seguintes funções de demanda individuais
Consumidor A:
Consumidor B:
Derive a função da demanda para o mercado
Qual será a quantidade demanda de mercado se o preço for R$ 5,00 e R$ 12,00