Determine o gradiente de f no ponto indicado:
b) f(x, y) = y ln(x + y) P(-3, 4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto . O conteúdo aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e e depois avaliar essas derivadas no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis, , é um vetor que aponta na direção de maior taxa de aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais da função em relação a cada variável.
Então, vamos calcular as derivadas parciais de :
  1. Derivada parcial em relação a :
    Aqui, tratamos como uma constante. A derivada de em relação a é , então aplicando a regra da cadeia:
  2. Derivada parcial em relação a :
    Agora, tratamos como uma constante. Precisamos usar a regra do produto aqui, já que temos multiplicando :

Passo 3

Agora que temos as expressões para as derivadas parciais, vamos avaliá-las no ponto .
Primeiro, verifique se é positivo, porque o logaritmo natural só é definido para valores positivos:
Agora, substituímos e nas derivadas:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

O gradiente de no ponto é:

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