Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de uma função vetorial. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde trabalhamos com funções que têm várias componentes. Basicamente, a gente precisa derivar cada componente da função separadamente para achar a derivada total.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função que a gente tem:
Para facilitar nossa vida, vamos reescrever a segunda componente. O termo
é o mesmo que
. Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é feita componente por componente. Isso significa que vamos derivar cada uma das funções que está ligando os vetores
,
e
.
Passo 4
Vamos começar com a primeira componente:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
. Nesse caso,
, então:
Passo 5
Agora, a segunda componente:
Seguindo a mesma regra, aqui
, então:
Passo 6
Por último, a terceira componente:
Como
é um vetor constante (não depende de
), sua derivada é zero:
Resposta
Juntando todas as derivadas das componentes, temos que a derivada da função vetorial
é:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
e)
Esboce a curva de nível de
que passa por
e desenhe o vetor gradiente em
.
a) .
a)
Calcule a derivada direcional
sendo dados:
g)
g)
Determine o gradiente de
no ponto indicado:
b) .
b)