Determinar a derivada das seguintes funções vetoriais:
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a derivada de uma função vetorial. Isso faz parte do estudo de cálculo vetorial, onde trabalhamos com funções que têm várias componentes. Basicamente, a gente precisa derivar cada componente da função separadamente para achar a derivada total.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função que a gente tem:
Para facilitar nossa vida, vamos reescrever a segunda componente. O termo é o mesmo que . Então, a função fica:

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a derivada de uma função vetorial é feita componente por componente. Isso significa que vamos derivar cada uma das funções que está ligando os vetores , e .

Passo 4

Vamos começar com a primeira componente:
Sabemos que a derivada de em relação a é . Nesse caso, , então:

Passo 5

Agora, a segunda componente:
Seguindo a mesma regra, aqui , então:

Passo 6

Por último, a terceira componente:
Como é um vetor constante (não depende de ), sua derivada é zero:

Resposta

Juntando todas as derivadas das componentes, temos que a derivada da função vetorial é:
Ou simplificando:

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Esboçar o gráfico das curvas representadas pelas seguintes funções vetoriais:
e) .
Esboce a curva de nível de que passa por e desenhe o vetor gradiente em .
a) .
Calcule a derivada direcional sendo dados:
g)
Determine o gradiente de no ponto indicado:
b) .