Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, sabendo que
e
. Vamos usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta matemática super útil para encontrar derivadas quando temos funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função que depende de outra função. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
. Então, para encontrar
e
, vamos precisar das derivadas de
em relação a
e
, e das derivadas de
e
em relação a
e
.
Passo 3
Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos dizem como
muda quando
ou
mudam, respectivamente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
e
:
Essas derivadas mostram como
e
mudam quando
ou
mudam.
Passo 5
Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar
e
. A regra da cadeia para funções de várias variáveis é:
Vamos substituir os valores que encontramos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, precisamos substituir
e
em termos de
e
para obter as derivadas parciais em termos de
e
:
Substituindo na expressão de
:
E na expressão de
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Dadas
e
, calcule
e
.
Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície no ponto especificado:
Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
.
Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.