Use a regra da cadeia para calcular as derivadas parciais indicadas das seguintes funções:
(a) u=x^2-y^2 ; x=3 r-s ; y=r+2 s ; partial upartial r ; partial upartial s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , sabendo que e . Vamos usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta matemática super útil para encontrar derivadas quando temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a regra da cadeia. Ela nos ajuda a calcular a derivada de uma função que depende de outra função. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de e . Então, para encontrar e , vamos precisar das derivadas de em relação a e , e das derivadas de e em relação a e .

Passo 3

Vamos calcular primeiro as derivadas parciais de partial upartial x = 2x e partial upartial y = -2y em relação a e :
Essas derivadas nos dizem como muda quando ou mudam, respectivamente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de partial xpartial r = 3 e partial xpartial s = -1 e partial ypartial r = 1 e partial ypartial s = 2 em relação a e :
Essas derivadas mostram como e mudam quando ou mudam.

Passo 5

Agora, aplicamos a regra da cadeia para encontrar partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r e partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s . A regra da cadeia para funções de várias variáveis é:
partial upartial r = (2x) cdot 3 + (-2y) cdot 1 = 6x - 2y
partial upartial s = (2x) cdot (-1) + (-2y) cdot 2 = -2x - 4y
Vamos substituir os valores que encontramos:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, precisamos substituir x = 3r - s e y = r + 2s e 6x - 2y = 6(3r - s) - 2(r + 2s) = 18r - 6s - 2r - 4s = (18r - 2r) + (-6s - 4s) = 16r - 10s em termos de -2x - 4y = -2(3r - s) - 4(r + 2s) = -6r + 2s - 4r - 8s = (-6r - 4r) + (2s - 8s) = -10r - 6s e para obter as derivadas parciais em termos de e :
Substituindo na expressão de :
E na expressão de :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = 16r - 10s
partial upartial s = -10r - 6s

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