Uma quantidade de gás obedece à lei do gás ideal, P V = k T, com k = 12, estando gás em um recipiente que é aquecido à taxa de 3º C por segundo. Encontre a taxa de variação do volume no instante em que a temperatura é 300 K, a pressão é 6 N / m^2 e decresce à taxa de 0,1 N/m^2 por segundo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que é uma relação entre pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) de um gás. A fórmula que vamos usar é , onde k é uma constante dada como 12. Precisamos encontrar a taxa de variação do volume ( ) quando a temperatura é , a pressão é ², e a pressão está diminuindo a uma taxa de ² por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as informações que temos:
  • (como estamos trabalhando com Kelvin, isso é equivalente a )
  • ²
  • ²
Queremos encontrar .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação dos gases ideais em relação ao tempo ( t). A equação é:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Usando a regra do produto no lado esquerdo:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Vamos rearranjar a equação:
Então:

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de V quando ² e . Usando a equação dos gases ideais:
Substituindo os valores:
³

Passo 6

Agora que temos ³, vamos substituir todos os valores na equação para :
Calculando cada parte:

  • Então:
³

Resposta

A taxa de variação do volume nesse instante é de 16 m³/s.

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