Uma quantidade de gás obedece à lei do gás ideal, , com , estando gás em um recipiente que é aquecido à taxa de por segundo. Encontre a taxa de variação do volume no instante em que a temperatura é , a pressão é e decresce à taxa de por segundo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que é uma relação entre pressão ( ), volume ( ) e temperatura ( ) de um gás. A fórmula que vamos usar é , onde é uma constante dada como 12. Precisamos encontrar a taxa de variação do volume ( ) quando a temperatura é , a pressão é ², e a pressão está diminuindo a uma taxa de ² por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as informações que temos:
  • (como estamos trabalhando com Kelvin, isso é equivalente a )
  • ²
  • ²
Queremos encontrar .

Passo 3

Vamos começar diferenciando a equação dos gases ideais em relação ao tempo ( ). A equação é:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Usando a regra do produto no lado esquerdo:

Passo 4

Agora, queremos isolar . Vamos rearranjar a equação:
Então:

Passo 5

Precisamos encontrar o valor de quando ² e . Usando a equação dos gases ideais:
Substituindo os valores:
³

Passo 6

Agora que temos ³, vamos substituir todos os valores na equação para :
Calculando cada parte:

  • Então:
³

Resposta

A taxa de variação do volume nesse instante é de 16 m³/s.

Exercícios relacionados

Resolver o que é pedido
a) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores e . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores . Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos
b) vetores e seja igual a 33 . Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por .
Se e são funções de , calcule quando:
Calcule a integral.
Calcule a derivada direcional , sendo dados: , e é o versor de .