Uma quantidade de gás obedece à lei do gás ideal,
, com
, estando gás em um recipiente que é aquecido à taxa de
por segundo. Encontre a taxa de variação do volume no instante em que a temperatura é
, a pressão é
e decresce à taxa de
por segundo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que é uma relação entre pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um gás. A fórmula que vamos usar é
, onde
é uma constante dada como 12. Precisamos encontrar a taxa de variação do volume (
) quando a temperatura é
, a pressão é
, e a pressão está diminuindo a uma taxa de
por segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as informações que temos:
-
-
(como estamos trabalhando com Kelvin, isso é equivalente a ) -
-
-
Queremos encontrar
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando a equação dos gases ideais em relação ao tempo (
). A equação é:
Derivando ambos os lados em relação ao tempo:
Usando a regra do produto no lado esquerdo:
Passo 4
Agora, queremos isolar
. Vamos rearranjar a equação:
Então:
Passo 5
Precisamos encontrar o valor de
quando
e
. Usando a equação dos gases ideais:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora que temos
, vamos substituir todos os valores na equação para
:
Calculando cada parte:
-
-
Então:
Resposta
A taxa de variação do volume nesse instante é de 16 m³/s.