Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular quatro integrais de vetores, cada uma com componentes nas direções , e . Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente dentro dos limites indicados e depois juntar os resultados. Precisaremos lembrar das regras básicas de integração para funções polinomiais, racionais e trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
Aqui, vamos integrar cada componente em relação a de 0 a 2.

Passo 3

Componente :
Componente :
Componente :

Passo 4

A segunda integral é:
Vamos integrar as componentes e separadamente de 0 a 1.

Passo 5

Componente :
Componente :
Para essa, podemos usar uma substituição simples. Seja , então , o que simplifica a integral:
Aplicando os limites:

Passo 6

A terceira integral é:
Vamos integrar cada componente em relação a de 0 a .

Passo 7

Componente :
Usamos substituição onde , então :
Aplicando os limites:
Componente :
Aqui, usamos , então :
Aplicando os limites:
Componente :
Novamente, substituição , :
Aplicando os limites:

Passo 8

A última integral é:
Vamos integrar cada componente separadamente de 1 a 2.

Passo 9

Componente :
Componente :
Para essa integral, usamos substituição. Seja , então e quando , ; , :
Componente :
Aqui, é uma função periódica. A integral de pode ser resolvida por partes:
Seja , então ; , então .
Aplicando integração por partes:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

A soma das integrais é:

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