Calcule a integral.
& integral0^2(t i-t^3 j+3 t^5 k) d t & integral0^1(41+t^2 j+2 t1+t^2 k) d t & integral0^pi / 2(3 sen^2 t cos t i+3 sen t cos ^2 t j+2 sen t cos t k) d t & integral1^2(t^2 i+t raizt-1 j+t sen pi t k) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular quatro integrais de vetores, cada uma com componentes nas direções i, j e k. Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral aplicado a vetores. Para resolver, vamos integrar cada componente separadamente dentro dos limites indicados e depois juntar os resultados. Precisaremos lembrar das regras básicas de integração para funções polinomiais, racionais e trigonométricas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira integral:
integral0^2(t i-t^3 j+3 t^5 k) d t
Aqui, vamos integrar cada componente em relação a t de 0 a 2.

Passo 3

Componente i:
integral0^2 t , dt = [t^22]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 = 2
Componente j:
integral0^2 -t^3 , dt = -[t^44]0^2 = -(164 - 0) = -4
Componente k:
integral0^2 3t^5 , dt = 3[t^66]0^2 = 3(646 - 0) = 3 times 646 = 32

Passo 4

A segunda integral é:
integral0^1(41+t^2 j+2 t1+t^2 k) d t
Vamos integrar as componentes j e k separadamente de 0 a 1.

Passo 5

Componente j:
integral0^1 41+t^2 , dt = 4 [arctan(t)]0^1 = 4 (pi4 - 0) = pi
Componente k:
Para essa, podemos usar uma substituição simples. Seja u = 1 + t^2, então du = 2t , dt, o que simplifica a integral:
integral0^1 2t1+t^2 , dt = integral duu = ln|u| + C
Aplicando os limites:
[ln(1+t^2)]0^1 = ln(2) - ln(1) = ln(2)

Passo 6

A terceira integral é:
Vamos integrar cada componente em relação a integral0^pi / 2(3 sen^2 t cos t i+3 sen t cos ^2 t j+2 sen t cos t k) d t de 0 a t.

Passo 7

Componente i:
Usamos substituição onde , então u = sen t:
Aplicando os limites:
Componente du = cos t , dt:
Aqui, usamos integral 3 sen^2 t cos t , dt = 3 integral u^2 , du = 3 [u^33] = u^3 = sen^3 t , então :
Aplicando os limites:
sen^3(pi2) - sen^3(0) = 1 - 0 = 1
Componente j:
Novamente, substituição , u = cos t:
Aplicando os limites:

Passo 8

A última integral é:
integral1^2(t^2 i+t raizt-1 j+t sen pi t k) d t
Vamos integrar cada componente separadamente de 1 a 2.

Passo 9

Componente i:
integral1^2 t^2 , dt = [t^33]1^2 = 83 - 13 = 73
Componente j:
Para essa integral, usamos substituição. Seja u = t - 1, então du = dt e quando t=1, u=0; t=2, u=1:
integral1^2 t raizt-1 , dt = integral0^1 (u+1) raizu , du = integral0^1 u^3/2 + u^1/2 , du = [25u^5/2 + 23u^3/2]0^1 = 25 + 23 = 6+1015 = 1615
Componente k:
Aqui, sen pi t é uma função periódica. A integral de pode ser resolvida por partes:
Seja t sen pi t, então u = t; , então du = dt.
Aplicando integração por partes:
Aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

A soma das integrais é:
integral0^2(t i-t^3 j+3 t^5 k) d t = 2,i - 4,j + 32,k
integral0^1(41+t^2 j+2 t1+t^2 k) d t = pi,j + ln(2),k
integral0^pi / 2(3 sen^2 t cos t i+3 sen t cos ^2 t j+2 sen t cos t k) d t = 1,i + 1,j + 1,k

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