Calcule a derivada direcional, no ponto dado, na direção do vetor :
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a derivada direcional da função no ponto (2,1) na direção do vetor . Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e usar vetores unitários na direção dada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja,
Vamos calcular cada derivada parcial:
Agora, substituímos o ponto (2,1):
Então, o gradiente no ponto (2,1) é:

Passo 3

Agora, precisamos normalizar o vetor para obter um vetor unitário na direção de . A normalização é importante porque a derivada direcional utiliza um vetor de comprimento 1.
A fórmula para normalizar um vetor é:
Onde é o comprimento do vetor, calculado por:
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

A derivada direcional de na direção de é o produto escalar entre o gradiente de no ponto dado e o vetor unitário na direção de . Ou seja,
Calculando o produto escalar:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A derivada direcional de no ponto (2,1) na direção do vetor é .

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Seja .
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em que é a circunferência de raio 1 centrada em orientada no sentido horário e