(2,0 pts) Use o Teorema de Green para calcular a integral
em que é a circunferência de raio 1 centrada em orientada no sentido horário e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O que isso significa? O Teorema de Green é uma ferramenta que relaciona integrais ao longo de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por . Aqui, a curva é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto e está orientada no sentido horário. A função vetorial dada é . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green à integral de linha fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que:
onde e é a região delimitada por . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região . A curva é uma circunferência de raio 1 centrada em , então é o interior dessa circunferência. Podemos simplificar mudando as coordenadas para , centralizando a circunferência no ponto . Porém, para facilitar, vamos manter as coordenadas originais e parametrizar a região .

Passo 6

Em coordenadas polares, com o centro da circunferência em , a equação da circunferência é:
Isso define a região sobre a qual vamos integrar.

Passo 7

Vamos expressar a integral dupla:
Podemos fatorar o 9:

Passo 8

Agora, precisamos calcular e separadamente.
Primeiro, é a área de , que é a área de uma circunferência de raio 1:
Á
Segundo, . Como a circunferência está centrada em , a média de sobre é 1, então:
Á

Passo 9

Agora, somando os dois resultados:
Multiplicando pelo 9:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Seja .
Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de .
Calcule a derivada direcional, no ponto dado, na direção do vetor :
.
( Identifique a superfície parametrizada por
  • Esboce a superfície.
(2,0 pts) Calcule a integral
onde é uma curva arbitrária ligando os ponto e .