(2,0 pts) Use o Teorema de Green para calcular a integral
integralC F cdot d r
em que C é a circunferência de raio 1 centrada em P(0,1) orientada no sentido horário e
F(x, y)=(4 x^2-9 y, 9 x y+raizy^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O que isso significa? O Teorema de Green é uma ferramenta que relaciona integrais ao longo de uma curva fechada com integrais duplas sobre a região limitada por . Aqui, a curva é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto e está orientada no sentido horário. A função vetorial dada é . Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green à integral de linha fornecida.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
onde e é a região delimitada por . No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x (9xy + raizy^2 + 1) = 9y
partial Ppartial y = partialpartial y (4x^2 - 9y) = -9

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 9y - (-9) = 9y + 9 = 9(y + 1)

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região . A curva é uma circunferência de raio 1 centrada em , então é o interior dessa circunferência. Podemos simplificar mudando as coordenadas para , centralizando a circunferência no ponto . Porém, para facilitar, vamos manter as coordenadas originais e parametrizar a região .

Passo 6

Em coordenadas polares, com o centro da circunferência em (x)^2 + (y - 1)^2 = 1 , a equação da circunferência é:
Isso define a região sobre a qual vamos integrar.

Passo 7

Vamos expressar a integral dupla:
integral duplaD 9(y + 1) , dx,dy
Podemos fatorar o 9:
9 integral duplaD (y + 1) , dx,dy

Passo 8

Agora, precisamos calcular Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi e integral duplaD y , dx,dy = 1 times Área = pi separadamente.
Primeiro, é a área de , que é a área de uma circunferência de raio 1:
Á
Segundo, . Como a circunferência está centrada em , a média de sobre é 1, então:
Á

Passo 9

Agora, somando os dois resultados:
integral duplaD (y + 1) , dx,dy = integral duplaD y , dx,dy + integral duplaD 1 , dx,dy = pi + pi = 2pi
Multiplicando pelo 9:
9 times 2pi = 18pi

Resposta

A integral é igual a .

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