(2,0 pts) Use o Teorema de Green para calcular a integral
em que
é a circunferência de raio 1 centrada em
orientada no sentido horário e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. O que isso significa? O Teorema de Green é uma ferramenta que relaciona integrais ao longo de uma curva fechada
com integrais duplas sobre a região limitada por
. Aqui, a curva
é uma circunferência de raio 1 centrada no ponto
e está orientada no sentido horário. A função vetorial dada é
. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green à integral de linha fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele nos diz que:
onde
e
é a região delimitada por
. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região
. A curva
é uma circunferência de raio 1 centrada em
, então
é o interior dessa circunferência. Podemos simplificar mudando as coordenadas para
, centralizando a circunferência no ponto
. Porém, para facilitar, vamos manter as coordenadas originais e parametrizar a região
.
Passo 6
Em coordenadas polares, com o centro da circunferência em
, a equação da circunferência é:
Isso define a região
sobre a qual vamos integrar.
Passo 7
Vamos expressar a integral dupla:
Podemos fatorar o 9:
Passo 8
Agora, precisamos calcular
e
separadamente.
Primeiro,
é a área de
, que é a área de uma circunferência de raio 1:
Segundo,
. Como a circunferência está centrada em
, a média de
sobre
é 1, então:
Passo 9
Agora, somando os dois resultados:
Multiplicando pelo 9:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
.
Calcule a derivada direcional de no ponto
na direção de
.
Calcule a derivada direcional de
Calcule a derivada direcional, no ponto dado, na direção do vetor
:
.
(
Identifique a superfície parametrizada por
- Esboce a superfície.
(2,0 pts) Calcule a integral
onde
é uma curva arbitrária ligando os ponto
e
.