Derivação logarítmica
Nos exercícios 41-54, use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
relação à variável independente dada.
Nos exercícios 41-54, use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisamos encontrar a derivada dela em relação a
usando a derivação logarítmica. Basicamente, a derivação logarítmica é útil quando a função é um produto ou potência complicada, como é o caso aqui. Vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade do logaritmo que transforma produtos em somas:
Passo 4
Simplificamos a segunda parte usando a propriedade do logaritmo de potências (
):
Passo 5
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se de que, ao derivar
, usamos a regra da cadeia:
Passo 6
Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Lembrando que
.
Passo 7
Agora, a derivada de
:
Passo 8
Substituindo as derivadas de volta na equação:
Simplificando o segundo termo:
Passo 9
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
.
Passo 10
Substituímos
de volta na equação:
Simplificando o primeiro termo dentro dos parênteses:
Passo 11
Finalmente, simplificamos toda a expressão:
Isso pode ser simplificado ainda mais se necessário, mas já temos a derivada expressa de forma completa.
Resposta
A derivada de
em relação a
é
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, temos
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corta o cone
gerando uma curva. Encontre o ponto dessa curva que está mais próximo da origem. Utilize os multiplicadores de Lagrange.
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:
.
Seja
.
Calcule a derivada direcional de no ponto
na direção de
.
Calcule a derivada direcional de