Derivação logarítmica
Nos exercícios 41-54, use a derivação logarítmica para determinar a derivada de relação à variável independente dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar a derivada dela em relação a usando a derivação logarítmica. Basicamente, a derivação logarítmica é útil quando a função é um produto ou potência complicada, como é o caso aqui. Vamos precisar lembrar das propriedades dos logaritmos e das regras de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a diferenciação:

Passo 3

Agora, usamos a propriedade do logaritmo que transforma produtos em somas:

Passo 4

Simplificamos a segunda parte usando a propriedade do logaritmo de potências ( ):

Passo 5

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se de que, ao derivar , usamos a regra da cadeia:

Passo 6

Vamos derivar cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de :
Lembrando que .

Passo 7

Agora, a derivada de :

Passo 8

Substituindo as derivadas de volta na equação:
Simplificando o segundo termo:

Passo 9

Agora, multiplicamos ambos os lados por para isolar :
Lembrando que .

Passo 10

Substituímos de volta na equação:
Simplificando o primeiro termo dentro dos parênteses:

Passo 11

Finalmente, simplificamos toda a expressão:
Isso pode ser simplificado ainda mais se necessário, mas já temos a derivada expressa de forma completa.

Resposta

A derivada de em relação a é

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.
Seja .
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