Seja .
Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional e como calcular as derivadas parciais da função.
Passo 2
A derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor unitário é calculada usando o produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor . Matematicamente, é dado por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais e da função .
Para :
Para :
Passo 4
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :
Passo 5
Com as derivadas parciais calculadas, agora podemos encontrar o gradiente de no ponto :
Passo 6
O vetor direção já é um vetor unitário, pois sua magnitude é:
Passo 7
Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .