Seja .
Calcule a derivada direcional de no ponto na direção de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos calcular a derivada direcional dessa função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de derivada direcional e como calcular as derivadas parciais da função.

Passo 2

A derivada direcional de uma função em um ponto específico na direção de um vetor unitário é calculada usando o produto escalar do gradiente da função nesse ponto com o vetor . Matematicamente, é dado por:
onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais e da função .
Para :
Para :

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais calculadas, agora podemos encontrar o gradiente de no ponto :

Passo 6

O vetor direção já é um vetor unitário, pois sua magnitude é:

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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.
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