Prove que para todo n em N, n > 0, temos
1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^(n-1) = 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que, para todo número natural maior que zero, a soma é igual a . Aqui, estamos lidando com uma progressão geométrica, que é uma sequência onde cada termo é múltiplo do anterior por uma razão fixa. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os elementos da nossa progressão geométrica:
  • Primeiro termo ( ): 1
  • Razão ( ): 2
  • Número de termos ( ):
A fórmula para a soma dos primeiros termos de uma progressão geométrica é:

Passo 3

Vamos aplicar os valores que identificamos na fórmula:

Passo 4

Portanto, a soma é igual a , não exatamente como foi inicialmente proposto na questão.

Resposta

A soma é igual a .

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