Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo: f(x, y)=integralx^y ln (sin t) d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função . Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e propriedades das integrais definidas. Vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral que depende das variáveis e .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de fx = -ln(sin x) em relação a , ou seja, . De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como uma integral com limite inferior variável, a derivada em relação a esse limite é igual à função integranda avaliada nesse limite, multiplicada por -1 (porque está no limite inferior).
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de fy = ln(sin y) em relação a , ou seja, . Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, mas desta vez para o limite superior, a derivada será simplesmente a função integranda avaliada nesse limite.
Portanto,

Passo 4

Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada parcial segunda de fxx = -cot x em relação a , que é . Já sabemos que . Agora, precisamos derivar isso em relação a .
A derivada de em relação a é , que é igual a . Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial mista fxy = 0 . Isso significa que vamos derivar em relação a . Mas lembrando que , que não depende de . Então, a derivada de uma constante em relação a é zero.
Assim,

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada parcial segunda de fyy = cos ysin y = cot y em relação a , que é . Sabemos que . Derivando isso em relação a , temos:

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função fx = -ln(sin x) são:
fy = ln(sin y)
fxx = -cot x
fxy = 0
fyy = cot y

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