Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem, incluindo as cruzadas, da função
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas parciais e propriedades das integrais definidas. Vamos precisar entender como derivar uma função definida por uma integral que depende das variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida como uma integral com limite inferior variável, a derivada em relação a esse limite é igual à função integranda avaliada nesse limite, multiplicada por -1 (porque está no limite inferior).
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, mas desta vez para o limite superior, a derivada será simplesmente a função integranda avaliada nesse limite.
Portanto,
Passo 4
Vamos seguir para as derivadas de segunda ordem. Primeiro, a derivada parcial segunda de
em relação a
, que é
. Já sabemos que
. Agora, precisamos derivar isso em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
, que é igual a
. Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial mista
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
. Mas lembrando que
, que não depende de
. Então, a derivada de uma constante em relação a
é zero.
Assim,
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada parcial segunda de
em relação a
, que é
. Sabemos que
. Derivando isso em relação a
, temos:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Uma esfera de raio 1 intercepta uma esfera menor de raio
de maneira que a intersecção é um círculo de raio
. (Em outras palavras, elas se interceptam em um círculo máximo da esfera pequena.) Encontre
de forma que o volume dentro da esfera pequena e fora da esfera grande seja o máximo possível.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada:
Mostre que as funções
(em que
é uma constante) e
satisfazem a chamada equação de difusão ou equação do calor
.