t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t^2, y2(t) = t^2 ln(t)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas soluções específicas para essa equação:
Então, nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação diferencial usando as soluções que já nos foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis. A forma geral dessa equação é:
No nosso caso, , e .

Passo 3

Sabemos que se já temos duas soluções lineares independentes de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, podemos escrever a solução geral como uma combinação linear dessas soluções. Ou seja:
Onde e são constantes que determinam a solução específica.

Passo 4

Substituindo as soluções que nos foram dadas, temos:
Essa é a forma geral da solução para a equação diferencial fornecida.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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