Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E duas soluções específicas para essa equação:
Então, nosso objetivo aqui é encontrar a solução geral dessa equação diferencial usando as soluções que já nos foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis. A forma geral dessa equação é:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Sabemos que se já temos duas soluções lineares independentes de uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem, podemos escrever a solução geral como uma combinação linear dessas soluções. Ou seja:
Onde
e
são constantes que determinam a solução específica.
Passo 4
Substituindo as soluções que nos foram dadas, temos:
Essa é a forma geral da solução para a equação diferencial fornecida.
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
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Uma esfera de raio 1 intercepta uma esfera menor de raio
de maneira que a intersecção é um círculo de raio
. (Em outras palavras, elas se interceptam em um círculo máximo da esfera pequena.) Encontre
de forma que o volume dentro da esfera pequena e fora da esfera grande seja o máximo possível.
Um vidro cilíndrico de raio
e altura
é enchido com água e então inclinado até que a água remanescente no vidro cubra exatamente a sua base. Encontre o volume de água no vidro.
Calcule as derivadas parciais de primeira e segunda ordem (inclusive as cruzadas) das funções abaixo:
.
Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção indicada: