Dada a função:
f(x, y)=ccc x y^2 cos (1x^2+y^2) & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Determine se as derivadas parciais de f são contínuas em (0,0). É diferenciável em (0,0) ? Resp: Sim é diferenciável em (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa verificar se as derivadas parciais da função são contínuas no ponto e também descobrir se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, analisar seus limites e verificar a diferenciabilidade usando a definição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h em relação a fx(0,0) = limh to 0 0 - 0h = 0 e fy(0,0) = limk to 0 f(0,k) - f(0,0)k no ponto fy(0,0) = limk to 0 0 - 0k = 0 .
Para , usamos a definição de derivada parcial:
Como e , temos:
Analogamente, para :
Aqui, , então:

Passo 3

Agora que sabemos que fx(x, y) = y^2 cos(1x^2 + y^2) + xy^2 cdot (-sin(1x^2 + y^2)) cdot (-2x(x^2 + y^2)^2) e fx(x, y) = y^2 cos(1x^2 + y^2) + 2x^2 y^2(x^2 + y^2)^2 sin(1x^2 + y^2) , vamos verificar a continuidade dessas derivadas em fy(x, y) = 2xy cos(1x^2 + y^2) + xy^2 cdot (-sin(1x^2 + y^2)) cdot (-2y(x^2 + y^2)^2) .
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de fy(x, y) = 2xy cos(1x^2 + y^2) + 2xy^3(x^2 + y^2)^2 sin(1x^2 + y^2) em geral e ver se elas se aproximam de 0 quando .
Começando com para :
Isso simplifica para:
Analogamente, para :
Que simplifica para:

Passo 4

Precisamos ver se e tendem a 0 quando .
Observando os termos:
  1. está limitado por , já que o cosseno varia entre -1 e 1.
  2. está limitado por , que simplifica para .
  3. O mesmo raciocínio vale para .
Como todos os termos são limitados e tende a 0, concluímos que tanto quanto tendem a 0 quando . Portanto, as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 5

Por fim, para verificar se é diferenciável em , usamos a definição de diferenciabilidade:
Uma função é diferenciável em se existe um mapeamento linear que aproxima perto de e o erro dessa aproximação é muito pequeno.
Como calculamos que as derivadas parciais existem e são contínuas em , pela seguinte propriedade, a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Sim, as derivadas parciais de são contínuas em e é diferenciável em .

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