Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de são contínuas em . É diferenciável em ? Resp: Sim é diferenciável em

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa verificar se as derivadas parciais da função são contínuas no ponto e também descobrir se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, analisar seus limites e verificar a diferenciabilidade usando a definição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto .
Para , usamos a definição de derivada parcial:
Como e , temos:
Analogamente, para :
Aqui, , então:

Passo 3

Agora que sabemos que e , vamos verificar a continuidade dessas derivadas em .
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em geral e ver se elas se aproximam de 0 quando .
Começando com para :
Isso simplifica para:
Analogamente, para :
Que simplifica para:

Passo 4

Precisamos ver se e tendem a 0 quando .
Observando os termos:
  1. está limitado por , já que o cosseno varia entre -1 e 1.
  2. está limitado por , que simplifica para .
  3. O mesmo raciocínio vale para .
Como todos os termos são limitados e tende a 0, concluímos que tanto quanto tendem a 0 quando . Portanto, as derivadas parciais são contínuas em .

Passo 5

Por fim, para verificar se é diferenciável em , usamos a definição de diferenciabilidade:
Uma função é diferenciável em se existe um mapeamento linear que aproxima perto de e o erro dessa aproximação é muito pequeno.
Como calculamos que as derivadas parciais existem e são contínuas em , pela seguinte propriedade, a função é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Sim, as derivadas parciais de são contínuas em e é diferenciável em .

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