Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de
são contínuas em
. É diferenciável em
? Resp: Sim é diferenciável em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo multivariável! A gente precisa verificar se as derivadas parciais da função
são contínuas no ponto
e também descobrir se a função é diferenciável nesse ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais, analisar seus limites e verificar a diferenciabilidade usando a definição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
.
Para
, usamos a definição de derivada parcial:
Como
e
, temos:
Analogamente, para
:
Aqui,
, então:
Passo 3
Agora que sabemos que
e
, vamos verificar a continuidade dessas derivadas em
.
Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em geral e ver se elas se aproximam de 0 quando
.
Começando com
para
:
Isso simplifica para:
Analogamente, para
:
Que simplifica para:
Passo 4
Precisamos ver se
e
tendem a 0 quando
.
Observando os termos:
-
está limitado por , já que o cosseno varia entre -1 e 1. -
está limitado por , que simplifica para . - O mesmo raciocínio vale para
.
Como todos os termos são limitados e
tende a 0, concluímos que tanto
quanto
tendem a 0 quando
. Portanto, as derivadas parciais são contínuas em
.
Passo 5
Por fim, para verificar se
é diferenciável em
, usamos a definição de diferenciabilidade:
Uma função
é diferenciável em
se existe um mapeamento linear que aproxima
perto de
e o erro dessa aproximação é muito pequeno.
Como calculamos que as derivadas parciais existem e são contínuas em
, pela seguinte propriedade, a função
é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Sim, as derivadas parciais de
são contínuas em
e
é diferenciável em
.
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Seja
.
Mostre que para todo
.
Mostre que
Calcule a derivada direcional
, no ponto
e na direção
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se uma formiga está no ponto
, qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação? Qual é esta taxa? Resp: (b) Deve andar na direção e sentido de
, taxa
.
Verifique se existe as derivadas parciais no ponto ( 0,0 ) em cada caso:
Resp.: Existe.