Seja .
Mostre que para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e o desafio é mostrar que para todo ponto onde a função está definida. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades dos logaritmos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . Lembra que a derivada de em relação a é , e aí aplicamos a regra da cadeia.
Para :
Aqui, derivamos o interior do logaritmo em relação a , que é .
Para :
Da mesma forma, derivamos o interior em relação a , resultando em .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada derivada parcial pelas respectivas variáveis e :

Passo 4

Vamos somar as duas expressões que acabamos de obter:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

Portanto, mostramos que para todo no domínio de .

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