Seja
.
Mostre que
para todo
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e o desafio é mostrar que
para todo ponto
onde a função está definida. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades dos logaritmos para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembra que a derivada de
em relação a
é
, e aí aplicamos a regra da cadeia.
Para
:
Aqui, derivamos o interior do logaritmo em relação a
, que é
.
Para
:
Da mesma forma, derivamos o interior em relação a
, resultando em
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar cada derivada parcial pelas respectivas variáveis
e
:
Passo 4
Vamos somar as duas expressões que acabamos de obter:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
no domínio de
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional
, no ponto
e na direção
Determine a área de superfície do gráfico de
sobre a região
.
Dada a função:
Determine se as derivadas parciais de
são contínuas em
. É diferenciável em
? Resp: Sim é diferenciável em
A temperatura em cada ponto de uma placa de metal é dada por
Se uma formiga está no ponto
, qual direção e sentido ela deve andar de modo que a temperatura tenha sua menor taxa de variação? Qual é esta taxa? Resp: (b) Deve andar na direção e sentido de
, taxa
.