Seja
.
Mostre que
para todo
.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e o desafio é mostrar que
para todo ponto
onde a função está definida. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades dos logaritmos para resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. Lembra que a derivada de
em relação a
é
, e aí aplicamos a regra da cadeia.
Para
:
Aqui, derivamos o interior do logaritmo em relação a
, que é
.
Para
:
Da mesma forma, derivamos o interior em relação a
, resultando em
.
Passo 3
Agora, vamos multiplicar cada derivada parcial pelas respectivas variáveis
e
:
Passo 4
Vamos somar as duas expressões que acabamos de obter:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
Portanto, mostramos que
para todo
no domínio de
.