Seja f(x, y)=log (x^2+y^2+x y).
Mostre que x partial fpartial x+y partial fpartial y=2 para todo (x, y) in Dom(f).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e o desafio é mostrar que para todo ponto onde a função está definida. Vamos usar conceitos de derivadas parciais e propriedades dos logaritmos para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = 1x^2 + y^2 + x y cdot (2x + y) em relação a partial fpartial y = 1x^2 + y^2 + x y cdot (2y + x) e . Lembra que a derivada de em relação a é , e aí aplicamos a regra da cadeia.
Para :
Aqui, derivamos o interior do logaritmo em relação a , que é .
Para :
Da mesma forma, derivamos o interior em relação a , resultando em .

Passo 3

Agora, vamos multiplicar cada derivada parcial pelas respectivas variáveis x partial fpartial x = x cdot 2x + yx^2 + y^2 + x y = x(2x + y)x^2 + y^2 + x y e y partial fpartial y = y cdot 2y + xx^2 + y^2 + x y = y(2y + x)x^2 + y^2 + x y :

Passo 4

Vamos somar as duas expressões que acabamos de obter:
x partial fpartial x + y partial fpartial y = x(2x + y) + y(2y + x)x^2 + y^2 + x y
Simplificando o numerador:
x(2x + y) + y(2y + x) = 2x^2 + x y + 2y^2 + x y = 2x^2 + 2y^2 + 2x y
Então:
x partial fpartial x + y partial fpartial y = 2x^2 + 2y^2 + 2x yx^2 + y^2 + x y = 2

Resposta

Portanto, mostramos que para todo no domínio de .

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