Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
g)
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pela fórmula:
onde é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Passo 5
O próximo passo é normalizar o vetor para obter o vetor unitário . No caso, já é um vetor unitário, pois:
Então, .
Passo 6
Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção de é .