Calcule a derivada direcional de f no ponto especificado e na direção indicada.
g) f(x, y) = x * e^(2y), (x0, y0) = (2, 0), v = (1/2) * i + (raiz(3)/2) * j

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pela fórmula:
onde é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

O próximo passo é normalizar o vetor para obter o vetor unitário . No caso, já é um vetor unitário, pois:
Então, .

Passo 6

Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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