Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
g)

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Vamos precisar entender o que é derivada direcional, calcular o gradiente da função e fazer um produto escalar. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor é dada pela fórmula:
onde é o gradiente da função e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e :
Calculando as derivadas:
Então,

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

O próximo passo é normalizar o vetor para obter o vetor unitário . No caso, já é um vetor unitário, pois:
Então, .

Passo 6

Agora, fazemos o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é .

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Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
a) A hipotenusa;
A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano é .
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de em .
Seja . Mostre que , onde . Explique.
Determine os pontos do hiperbolóide em que o plano tangente é paralelo ao plano .