Determine os pontos do hiperbolóide
em que o plano tangente é paralelo ao plano
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos do hiperbolóide
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies como o hiperbolóide. Precisaremos entender como encontrar o plano tangente a uma superfície e determinar quando dois planos são paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão do vetor normal ao hiperbolóide. Para isso, calculamos o gradiente da função
. O gradiente é dado por:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano tangente no ponto
do hiperbolóide.
Passo 3
O plano
tem como vetor normal
. Para que o plano tangente ao hiperbolóide seja paralelo a esse plano, os vetores normais devem ser múltiplos escalares um do outro. Ou seja:
onde
é uma constante.
Passo 4
Vamos igualar as componentes correspondentes:
Agora, expressamos
e
em termos de
.
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação do hiperbolóide:
Calculando cada termo:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, encontramos os valores de
,
e
para cada valor de
:
- Para
: - Para
:
Resposta
Os pontos são
e
.