Determine os pontos do hiperbolóide x^2 - 2y^2 - 4z^2 = 16 em que o plano tangente é paralelo ao plano 4x - 2y + 4z = 5.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos do hiperbolóide onde o plano tangente é paralelo ao plano . Aqui, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies como o hiperbolóide. Precisaremos entender como encontrar o plano tangente a uma superfície e determinar quando dois planos são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão do vetor normal ao hiperbolóide. Para isso, calculamos o gradiente da função . O gradiente é dado por:
Esse vetor normal é perpendicular ao plano tangente no ponto do hiperbolóide.

Passo 3

O plano tem como vetor normal . Para que o plano tangente ao hiperbolóide seja paralelo a esse plano, os vetores normais devem ser múltiplos escalares um do outro. Ou seja:
onde é uma constante.

Passo 4

Vamos igualar as componentes correspondentes:
Agora, expressamos e em termos de .

Passo 5

Substituímos , e na equação do hiperbolóide:
Calculando cada termo:
Portanto, .

Passo 6

Agora, encontramos os valores de , e para cada valor de :
  • Para :
  • Para :

Resposta

Os pontos são e .

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