Seja . Mostre que , onde . Explique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e gradiente. O enunciado nos dá uma função definida de forma diferente no ponto e em outros pontos. Precisamos mostrar que a derivada direcional de na direção de no ponto é diferente do produto do gradiente de em pelo vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
No ponto , a função está definida como zero, mas para outros pontos, ela segue a expressão .

Passo 3

Vamos calcular a derivada direcional de na direção de no ponto . A derivada direcional é definida como:
Onde .

Passo 4

Substituindo na função :
Então, a derivada direcional fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 6

Calculando :
Calculando :
Portanto, o gradiente é:

Passo 7

Agora, calculamos o produto do gradiente pelo vetor :

Passo 8

Comparando os resultados:
Claramente, .

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é , enquanto o produto do gradiente de em pelo vetor é . Portanto, .

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Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
g)
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