Seja
. Mostre que
, onde
. Explique.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e gradiente. O enunciado nos dá uma função
definida de forma diferente no ponto
e em outros pontos. Precisamos mostrar que a derivada direcional de
na direção de
no ponto
é diferente do produto do gradiente de
em
pelo vetor
. Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
No ponto
, a função está definida como zero, mas para outros pontos, ela segue a expressão
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada direcional de
na direção de
no ponto
. A derivada direcional
é definida como:
Onde
.
Passo 4
Substituindo
na função
:
Então, a derivada direcional fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais de
em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial.
Passo 6
Calculando
:
Calculando
:
Portanto, o gradiente é:
Passo 7
Agora, calculamos o produto do gradiente pelo vetor
:
Passo 8
Comparando os resultados:
Claramente,
.
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
, enquanto o produto do gradiente de
em
pelo vetor
é
. Portanto,
.
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
g)
g)
Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
a) A hipotenusa;
a) A hipotenusa;
Determine os pontos do hiperbolóide
em que o plano tangente é paralelo ao plano
.