Seja f(x, y)=cccx^3x^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0). Mostre que partial fpartial v(0,0) neq nabla f(0,0) cdot v, onde v=(1raiz2, 1raiz2). Explique.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo derivadas parciais e gradiente. O enunciado nos dá uma função definida de forma diferente no ponto e em outros pontos. Precisamos mostrar que a derivada direcional de na direção de no ponto é diferente do produto do gradiente de em pelo vetor . Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função f(x, y) = x^3x^2+y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) :
No ponto , a função está definida como zero, mas para outros pontos, ela segue a expressão .

Passo 3

Vamos calcular a derivada direcional de partial fpartial v(0,0) = limh to 0 f(hv) - f(0,0)h na direção de no ponto . A derivada direcional é definida como:
Onde .

Passo 4

Substituindo f( hraiz2, hraiz2 ) = ( hraiz2 )^3( hraiz2 )^2 + ( hraiz2 )^2 = h^32raiz2h^22 + h^22 = h^32raiz2h^2 = h2raiz2 na função partial fpartial v(0,0) = limh to 0 h2raiz2 - 0h = 12raiz2 :
Então, a derivada direcional fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente nabla f(0,0) = ( partial fpartial x(0,0), partial fpartial y(0,0) ) . O gradiente é o vetor das derivadas parciais de em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial.

Passo 6

Calculando partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h,0) - f(0,0)h = limh to 0 h^3h^2 - 0h = limh to 0 hh = 1 :
partial fpartial y(0,0) = limh to 0 f(0,h) - f(0,0)h = limh to 0 0 - 0h = 0
Calculando nabla f(0,0) = (1, 0) :
Portanto, o gradiente é:

Passo 7

Agora, calculamos o produto do gradiente pelo vetor nabla f(0,0) cdot v = (1, 0) cdot ( 1raiz2, 1raiz2 ) = 1 cdot 1raiz2 + 0 cdot 1raiz2 = 1raiz2 :

Passo 8

Comparando os resultados:
partial fpartial v(0,0) = 12raiz2 e nabla f(0,0) cdot v = 1raiz2
Claramente, .

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é , enquanto o produto do gradiente de em pelo vetor é . Portanto, .

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