Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de . Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
a) A hipotenusa;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem um triângulo retângulo com os dois lados menores medindo 3 cm e 4 cm, e cada medida pode ter um erro de até . A gente precisa descobrir qual é o erro máximo na medida da hipotenusa usando diferenciais. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a hipotenusa ( ) de um triângulo retângulo quando conhecemos os outros dois lados ( e ). A fórmula é a famosa Teorema de Pitágoras:

Passo 3

Agora, queremos descobrir como pequenos erros nas medidas de e (os lados menores) afetam a medida de . Para isso, vamos usar os diferenciais. Diferenciais nos ajudam a aproximar mudanças em funções quando suas variáveis mudam um pouquinho.
Primeiro, derivamos a fórmula da hipotenusa em relação a e :
Vamos calcular cada derivada parcial:

Passo 4

Substituindo os valores de , e na expressão dos diferenciais:
Sabemos que e são os erros nas medidas de e , respectivamente. Como cada erro pode ser no máximo :

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
Somando essas partes:

Resposta

O erro máximo aproximado na medida da hipotenusa é de .

Exercícios relacionados

A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano é .
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de em .
Calcule a derivada direcional de no ponto especificado e na direção indicada.
g)
Seja . Mostre que , onde . Explique.