Medem-se os dois lados mais curtos de um triângulo retângulo, obtendo-se 3 cm e 4 cm , respectivamente, com erro possível de
. Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação do erro máximo nos seguintes valores calculados:
a) A hipotenusa;
a) A hipotenusa;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Você tem um triângulo retângulo com os dois lados menores medindo 3 cm e 4 cm, e cada medida pode ter um erro de até
. A gente precisa descobrir qual é o erro máximo na medida da hipotenusa usando diferenciais. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular a hipotenusa (
) de um triângulo retângulo quando conhecemos os outros dois lados (
e
). A fórmula é a famosa Teorema de Pitágoras:
Passo 3
Agora, queremos descobrir como pequenos erros nas medidas de
e
(os lados menores) afetam a medida de
. Para isso, vamos usar os diferenciais. Diferenciais nos ajudam a aproximar mudanças em funções quando suas variáveis mudam um pouquinho.
Primeiro, derivamos a fórmula da hipotenusa em relação a
e
:
Vamos calcular cada derivada parcial:
Passo 4
Substituindo os valores de
,
e
na expressão dos diferenciais:
Sabemos que
e
são os erros nas medidas de
e
, respectivamente. Como cada erro pode ser no máximo
:
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Somando essas partes:
Resposta
O erro máximo aproximado na medida da hipotenusa é de
.
Exercícios relacionados
A densidade de uma chapa retangular em qualquer ponto do plano
é
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de em
.
b) Encontre a direção e magnitude da taxa de variação de
Calcule a derivada direcional de
no ponto especificado e na direção indicada.
g)
g)
Seja
. Mostre que
, onde
. Explique.