Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a derivada direcional da função no ponto e na direção do vetor . A matéria que estamos usando aqui é a derivada direcional, que envolve cálculo de derivadas parciais e vetores. Vamos precisar encontrar o gradiente da função e depois usar o vetor direção para encontrar a derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um vetor específico. Para encontrá-la, precisamos do gradiente da função , que é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a cada variável.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto :
Sabendo que e , temos:

Passo 5

Precisamos agora normalizar o vetor direção . A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. Para normalizar , calculamos sua magnitude:
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 6

Agora, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de no ponto e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional da função no ponto na direção de é .

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Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.
Seja a sequência de Fibonacci definida por e . Demonstre os seguintes itens:
(a) .
(b) .
© .
(d) Seja . Então, .
(e) .
Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp: