Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a derivada direcional da função
no ponto
e na direção do vetor
. A matéria que estamos usando aqui é a derivada direcional, que envolve cálculo de derivadas parciais e vetores. Vamos precisar encontrar o gradiente da função
e depois usar o vetor direção
para encontrar a derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função
na direção de um vetor específico. Para encontrá-la, precisamos do gradiente da função
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
Sabendo que
e
, temos:
Passo 5
Precisamos agora normalizar o vetor direção
. A normalização é importante porque a derivada direcional usa um vetor unitário na direção desejada. Para normalizar
, calculamos sua magnitude:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente de
no ponto
e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.
Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
. Demonstre os seguintes itens:
(a) .
(b) .
© .
(d) Seja . Então,
.
(e) .
(a)
(b)
©
(d) Seja
(e)
Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp: