Encontre a série de Fourier da função dada.
f(x)=ll-x, & -2 <= x <= 0 ; x, & 0 <= x <= 2 f(x+4)=f(x) Resp: f(x)=1-8pi^2 sumn=1^infty cos [(2 n-1) pi x / 2](2 n-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de série de Fourier. A função que precisamos analisar é uma função periódica definida por partes:
f(x) = -x, & -2 <= x <= 0 x, & 0 <= x <= 2 e f(x + 4) = f(x)
Então, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e entender como representar essa função em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que omega0 = 2piT = 2pi4 = pi2 , o que indica que o período é 4. A partir disso, podemos calcular a frequência angular :

Passo 3

Como a função é ímpar (porque ) no intervalo , podemos simplificar a série de Fourier. Para funções ímpares, apenas os termos de senos aparecem na série. Contudo, como a função é periódica e temos uma simetria específica, podemos ajustar a série para incluir apenas certos termos.

Passo 4

Vamos escrever a série de Fourier para f(x) = a0 + sumn=1^infty an cos(n omega0 x) + sumn=1^infty bn sin(n omega0 x) . Em geral, uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de cossenos e senos. Mas, pela simetria da nossa função, vamos focar nos termos que se ajustam melhor:
Devido à simetria ímpar, alguns termos desaparecem, mas vamos seguir com os cálculos.

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente a0 = 1T integral-2^2 f(x) , dx , que é a média da função no período:
a0 = 14 ( integral-2^0 (-x) , dx + integral0^2 x , dx ) = 14 ( [ -x^22 ]-2^0 + [ x^22 ]0^2 ) = 0
Calculando:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 2T integral-2^2 f(x) cos(n omega0 x) , dx :
an = 24 ( integral-2^0 (-x) cos( n pi2 x ) dx + integral0^2 x cos( n pi2 x ) dx )
Devido à simetria da função, podemos simplificar:
an = 8pi^2 cdot 1(2n - 1)^2
Após realizar os cálculos, percebemos que apenas termos específicos contribuem, resultando em:

Passo 7

Os coeficientes , que multiplicam os senos, serão zero devido à simetria par da função . Portanto, não precisamos nos preocupar com esses termos.

Passo 8

Juntando tudo, a série de Fourier da função f(x) = 1 - 8pi^2 sumn=1^infty cos [ (2n - 1) pi x2 ](2n - 1)^2 fica:

Resposta

f(x) = 1 - 8pi^2 sumn=1^infty cos [ (2n - 1) pi x2 ](2n - 1)^2

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