Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de série de Fourier. A função que precisamos analisar é uma função periódica definida por partes:
Então, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e entender como representar essa função em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que
, o que indica que o período
é 4. A partir disso, podemos calcular a frequência angular
:
Passo 3
Como a função
é ímpar (porque
) no intervalo
, podemos simplificar a série de Fourier. Para funções ímpares, apenas os termos de senos aparecem na série. Contudo, como a função é periódica e temos uma simetria específica, podemos ajustar a série para incluir apenas certos termos.
Passo 4
Vamos escrever a série de Fourier para
. Em geral, uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de cossenos e senos. Mas, pela simetria da nossa função, vamos focar nos termos que se ajustam melhor:
Devido à simetria ímpar, alguns termos desaparecem, mas vamos seguir com os cálculos.
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente
, que é a média da função no período:
Calculando:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Devido à simetria da função, podemos simplificar:
Após realizar os cálculos, percebemos que apenas termos específicos contribuem, resultando em:
Passo 7
Os coeficientes
, que multiplicam os senos, serão zero devido à simetria par da função
. Portanto, não precisamos nos preocupar com esses termos.
Passo 8
Juntando tudo, a série de Fourier da função
fica: