Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de série de Fourier. A função que precisamos analisar é uma função periódica definida por partes:
Então, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e entender como representar essa função em termos de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que
, o que indica que o período
é 4. A partir disso, podemos calcular a frequência angular
:
Passo 3
Como a função
é ímpar (porque
) no intervalo
, podemos simplificar a série de Fourier. Para funções ímpares, apenas os termos de senos aparecem na série. Contudo, como a função é periódica e temos uma simetria específica, podemos ajustar a série para incluir apenas certos termos.
Passo 4
Vamos escrever a série de Fourier para
. Em geral, uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de cossenos e senos. Mas, pela simetria da nossa função, vamos focar nos termos que se ajustam melhor:
Devido à simetria ímpar, alguns termos desaparecem, mas vamos seguir com os cálculos.
Passo 5
Vamos calcular o coeficiente
, que é a média da função no período:
Calculando:
Então,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Devido à simetria da função, podemos simplificar:
Após realizar os cálculos, percebemos que apenas termos específicos contribuem, resultando em:
Passo 7
Os coeficientes
, que multiplicam os senos, serão zero devido à simetria par da função
. Portanto, não precisamos nos preocupar com esses termos.
Passo 8
Juntando tudo, a série de Fourier da função
fica:
Resposta
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Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
. Demonstre os seguintes itens:
(a) .
(b) .
© .
(d) Seja . Então,
.
(e) .
(a)
(b)
©
(d) Seja
(e)
Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:
Seja a sequência de números reais
:
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência
que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência
limitada e divergente.
a) Defina matematicamente a expressão
b) Se
Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.