Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de série de Fourier. A função que precisamos analisar é uma função periódica definida por partes:
Então, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier para funções periódicas e entender como representar essa função em termos de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Sabemos que , o que indica que o período é 4. A partir disso, podemos calcular a frequência angular :

Passo 3

Como a função é ímpar (porque ) no intervalo , podemos simplificar a série de Fourier. Para funções ímpares, apenas os termos de senos aparecem na série. Contudo, como a função é periódica e temos uma simetria específica, podemos ajustar a série para incluir apenas certos termos.

Passo 4

Vamos escrever a série de Fourier para . Em geral, uma série de Fourier para uma função periódica pode ser escrita como uma soma de cossenos e senos. Mas, pela simetria da nossa função, vamos focar nos termos que se ajustam melhor:
Devido à simetria ímpar, alguns termos desaparecem, mas vamos seguir com os cálculos.

Passo 5

Vamos calcular o coeficiente , que é a média da função no período:
Calculando:
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes :
Devido à simetria da função, podemos simplificar:
Após realizar os cálculos, percebemos que apenas termos específicos contribuem, resultando em:

Passo 7

Os coeficientes , que multiplicam os senos, serão zero devido à simetria par da função . Portanto, não precisamos nos preocupar com esses termos.

Passo 8

Juntando tudo, a série de Fourier da função fica:

Resposta

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Seja a sequência de Fibonacci definida por e . Demonstre os seguintes itens:
(a) .
(b) .
© .
(d) Seja . Então, .
(e) .
Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:
Seja a sequência de números reais :
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.
Mostre que toda sequencia convergente é limitada e dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.