Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar várias curvas de nível da função
. Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis e mais especificamente de curvas de nível. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
tem um valor constante, ou seja,
, onde
é uma constante. Isso significa que para cada valor de
, teremos uma curva diferente no plano
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos encontrar as curvas de nível, então igualamos a função a uma constante
:
Cada valor de
vai nos dar uma curva diferente. Vamos analisar alguns valores de
para entender como as curvas se comportam.
Passo 4
Vamos escolher alguns valores para
, por exemplo:
,
,
,
e
. Para cada um desses valores, vamos resolver a equa�o
e identificar a curva correspondente.
Passo 5
Para
:
Essa equação representa uma hipérbole porque é da forma
.
Passo 6
Para
:
Novamente, temos uma hipérbole, mas menos “aberta” do que a anterior.
Passo 7
Para
:
Essa equação representa duas retas:
e
, que são as assíntotas da hipérbole.
Passo 8
Para
:
Aqui, a equação também representa uma hipérbole, mas agora o termo
tem um coeficiente positivo, indicando que a hipérbole está “abrindo” ao longo do eixo
.
Passo 9
Para
:
Essa é outra hipérbole, mais “aberta” do que a anterior.
Resposta
Então, as curvas de nível da função
são hipérboles para diferentes valores de
. Especificamente:
- Para
: Hipérbole - Para
: Hipérbole - Para
: As retas e - Para
: Hipérbole - Para
: Hipérbole
Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no plano
.
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