Desenhe várias curvas de nivel no domínio da função. Identifique cada curva de nível com o seu respectivo valor da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente desenhar várias curvas de nível da função . Isso está dentro do estudo de funções de duas variáveis e mais especificamente de curvas de nível. Pra resolver isso, a gente vai precisar entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem um valor constante, ou seja, , onde é uma constante. Isso significa que para cada valor de , teremos uma curva diferente no plano .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos encontrar as curvas de nível, então igualamos a função a uma constante :
Cada valor de vai nos dar uma curva diferente. Vamos analisar alguns valores de para entender como as curvas se comportam.

Passo 4

Vamos escolher alguns valores para , por exemplo: , , , e . Para cada um desses valores, vamos resolver a equa�o e identificar a curva correspondente.

Passo 5

Para :
Essa equação representa uma hipérbole porque é da forma .

Passo 6

Para :
Novamente, temos uma hipérbole, mas menos “aberta” do que a anterior.

Passo 7

Para :
Essa equação representa duas retas: e , que são as assíntotas da hipérbole.

Passo 8

Para :
Aqui, a equação também representa uma hipérbole, mas agora o termo tem um coeficiente positivo, indicando que a hipérbole está “abrindo” ao longo do eixo .

Passo 9

Para :
Essa é outra hipérbole, mais “aberta” do que a anterior.

Resposta

Então, as curvas de nível da função são hipérboles para diferentes valores de . Especificamente:
  • Para : Hipérbole
  • Para : Hipérbole
  • Para : As retas e
  • Para : Hipérbole
  • Para : Hipérbole
Essas curvas ajudam a visualizar como a função se comporta no plano .

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