Seja
a sequência de Fibonacci definida por
e
. Demonstre os seguintes itens:
(a)
.
(b)
.
©
.
(d) Seja
. Então,
.
(e)
.
(a)
(b)
©
(d) Seja
(e)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência de Fibonacci, que começa com
e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores, ou seja,
para
. O item (a) quer que a gente mostre que a soma dos quadrados dos primeiros
termos da sequência de Fibonacci é igual ao produto de
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar esses quadrados e utilizar propriedades básicas da sequência de Fibonacci.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a soma que queremos calcular:
Queremos provar que
.
Passo 3
Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada indução matemática, que nos permite provar que a fórmula é válida para todos os
naturais. Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando
.
Passo 4
Quando
:
E o lado direito da equação:
Como
, a fórmula funciona para
.
Passo 5
Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum
, ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que ela também é válida para
.
Passo 6
Consideremos a soma até
:
Usando a hipótese de indução:
Pela definição da sequência de Fibonacci, sabemos que
. Então:
Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para
, ela também é verdadeira para
.
Passo 7
Como verificamos a base da indução (
) e mostramos que se a fórmula vale para
, então vale para
, podemos concluir, por indução matemática, que a fórmula é válida para todo
.
Resposta
Portanto, demonstramos que: