Seja Fn a sequência de Fibonacci definida por F1 = F2 = 1 e F_n+2 = F_n+1 + F_n, n ≥ 1. Demonstre os seguintes itens:
(a) F1^2 + F2^2 + ... + Fn^2 = Fn * Fn+1.
(b) F3 + F6 + F9 + ... + F3n = (F3n+2 - 1) / 2.
© F_{n+m} = F_{n-1} * F_{m} + F_{n} * F_{m+1}.
(d) Seja m ≥ 1. Então, Fm | Fmn.
(e) m | n => Fm | Fn.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a sequência de Fibonacci, que começa com e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores, ou seja, para . O item (a) quer que a gente mostre que a soma dos quadrados dos primeiros termos da sequência de Fibonacci é igual ao produto de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como somar esses quadrados e utilizar propriedades básicas da sequência de Fibonacci.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a soma que queremos calcular:
Queremos provar que .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada indução matemática, que nos permite provar que a fórmula é válida para todos os naturais. Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando .

Passo 4

Quando :
E o lado direito da equação:
Como , a fórmula funciona para .

Passo 5

Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum , ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que ela também é válida para .

Passo 6

Consideremos a soma até :
Usando a hipótese de indução:
Pela definição da sequência de Fibonacci, sabemos que . Então:
Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Passo 7

Como verificamos a base da indução ( ) e mostramos que se a fórmula vale para , então vale para , podemos concluir, por indução matemática, que a fórmula é válida para todo .

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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