Seja a sequência de Fibonacci definida por e . Demonstre os seguintes itens: (a) . (b) . (c) . (d) Seja . Então, . (e) .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a **sequência de Fibonacci**, que começa com e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores, ou seja, para . O item (a) quer que a gente mostre que a soma dos quadrados dos primeiros termos da sequência de Fibonacci é igual ao produto de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como somar esses quadrados e utilizar propriedades básicas da sequência de Fibonacci.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a soma que queremos calcular: Queremos provar que .

Passo 3

Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada **indução matemática**, que nos permite provar que a fórmula é válida para todos os naturais. Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando .

Passo 4

Quando : E o lado direito da equação: Como , a fórmula funciona para .

Passo 5

Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum , ou seja: Nosso objetivo é mostrar que ela também é válida para .

Passo 6

Consideremos a soma até : Usando a hipótese de indução: Pela definição da sequência de Fibonacci, sabemos que . Então: Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para , ela também é verdadeira para .

Passo 7

Como verificamos a base da indução () e mostramos que se a fórmula vale para , então vale para , podemos concluir, por indução matemática, que a fórmula é válida para todo .

Resposta

Portanto, demonstramos que:

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Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:
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Encontre a série de Fourier da função dada. Resp:
Seja a sequência de números reais : a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência que é convergente para um certo valor real a. b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.