Seja a sequência de Fibonacci definida por e . Demonstre os seguintes itens:
(a) .
(b) .
(c) .
(d) Seja . Então, .
(e) .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a **sequência de Fibonacci**, que começa com e cada termo seguinte é a soma dos dois anteriores, ou seja, para . O item (a) quer que a gente mostre que a soma dos quadrados dos primeiros termos da sequência de Fibonacci é igual ao produto de e . Para resolver isso, vamos precisar entender como somar esses quadrados e utilizar propriedades básicas da sequência de Fibonacci.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a soma que queremos calcular:
Queremos provar que .
Passo 3
Para facilitar, vamos usar uma técnica chamada **indução matemática**, que nos permite provar que a fórmula é válida para todos os naturais. Primeiro, vamos verificar se a fórmula funciona para o caso inicial, ou seja, quando .
Passo 4
Quando :
E o lado direito da equação:
Como , a fórmula funciona para .
Passo 5
Agora, assumimos que a fórmula é verdadeira para algum , ou seja:
Nosso objetivo é mostrar que ela também é válida para .
Passo 6
Consideremos a soma até :
Usando a hipótese de indução:
Pela definição da sequência de Fibonacci, sabemos que . Então:
Isso mostra que se a fórmula é verdadeira para , ela também é verdadeira para .
Passo 7
Como verificamos a base da indução ( ) e mostramos que se a fórmula vale para , então vale para , podemos concluir, por indução matemática, que a fórmula é válida para todo .
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Calcule a derivada direcional da seguinte função, no ponto dado:
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
Encontre a série de Fourier da função dada.
Resp:
Seja a sequência de números reais :
a) Defina matematicamente a expressão . Dê um exemplo de uma sequência que é convergente para um certo valor real a.
b) Se for limitada, podemos garantir que ela será convergente? Se sim, justifique. Se não, dê um exemplo de uma sequência limitada e divergente.