Calcule a derivada f^prime(a) pela definição, em cada ponto indicado. Lembrem - se:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h ou f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(a)x-a
f(x)=x^2
x0=2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que foi pedido. A gente precisa calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Isso envolve entender o conceito de limite e como aplicá-lo para encontrar a taxa de variação da função naquele ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da derivada:
f^prime(a) = limh 0 f(a+h) - f(a)h
Aqui, representa a derivada de no ponto . Nosso objetivo é aplicar essa fórmula para .

Passo 3

Vamos substituir f^prime(2) = limh 0 f(2+h) - f(2)h por 2 na fórmula:
Agora, precisamos calcular e usando a função .

Passo 4

Calculando f(2+h) = (2+h)^2 = 4 + 4h + h^2 :
f(2) = 2^2 = 4
E :

Passo 5

Agora, vamos substituir esses valores na expressão da derivada:
f^prime(2) = limh 0 (4 + 4h + h^2) - 4h = limh 0 4h + h^2h

Passo 6

Simplificando a fração dividindo cada termo por f^prime(2) = limh 0 (4 + h) :

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando f^prime(2) = 4 + 0 = 4 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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