O quadrado de vértices A(1,4), B(1,2), C(3,2) e D(3,4) está inscrito em uma circunferência. Escreva a equação reduzida da circunferência.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um quadrado com vértices nos pontos , , e que está inscrito em uma circunferência. Nosso objetivo é encontrar a equação reduzida dessa circunferência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo do centro da circunferência e o raio.

Passo 2

Vamos começar encontrando o centro da circunferência. Como o quadrado está inscrito na circunferência, o centro desta será o ponto de interseção das diagonais do quadrado. Vamos calcular as coordenadas desse ponto.
Primeiro, encontramos as diagonais:
  • Diagonal que vai de a
  • Diagonal que vai de a
Para encontrar o ponto médio de cada diagonal (que será o centro), usamos a fórmula do ponto médio:
é
Calculando para a diagonal :
Fazendo o mesmo para a diagonal :
Ambas as diagonais se cruzam no ponto , que será o centro da circunferência.

Passo 3

Agora, vamos determinar o raio da circunferência. O raio é a distância do centro a qualquer um dos vértices do quadrado. Vamos calcular a distância entre o centro e o ponto usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Substituindo os valores:
Portanto, o raio da circunferência é .

Resposta

A equação reduzida da circunferência é:

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