Calcule a derivada f^prime(a) pela definição, em cada ponto indicado. Lembrem - se:
f^prime(a)=lim h 0 f(a+h)-f(a)h ou f^prime(x0)=lim x x0 f(x)-f(a)x-a
f(x)=x^2-2 x
x0=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a derivada de f^prime(a) = limh 0 f(a+h) - f(a)h no ponto usando a definição de derivada. Ou seja, vamos utilizar a fórmula:
Para isso, precisamos entender o que é derivada e como aplicar essa definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de f^prime(1) = limh 0 f(1 + h) - f(1)h . Aqui, . Então, vamos substituir na fórmula:

Passo 3

Agora, precisamos calcular f(1 + h) = (1 + h)^2 - 2(1 + h) . Sabemos que (1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2 , então:
-2(1 + h) = -2 - 2h
Vamos expandir esse cálculo:
f(1 + h) = 1 + 2h + h^2 - 2 - 2h = (1 - 2) + (2h - 2h) + h^2 = -1 + h^2
E:
Então:

Passo 4

Agora, vamos substituir f(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1 e f^prime(1) = limh 0 f(1 + h) - f(1)h = limh 0 (-1 + h^2) - (-1)h na fórmula da derivada. Primeiro, calculamos (-1 + h^2) - (-1) = -1 + h^2 + 1 = h^2 :
f^prime(1) = limh 0 h^2h
Então, temos:
Simplificando o numerador:
Então:

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
h^2h = h
Portanto, a expressão fica:
f^prime(1) = limh 0 h

Passo 6

Finalmente, calculamos o limite conforme limh 0 h = 0 se aproxima de 0:

Resposta

A derivada de no ponto é .

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