Determine se f(x) é derivável em x0 em cada caso:
f(x) = { 3 - 2x, x < 2; 3x - 7, x ≥ 2 } x₀ = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e queremos descobrir se ela é derivável no ponto . Isso está dentro do assunto de Cálculo, mais especificamente de Derivadas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a derivada da função existe desse lado e daquele lado do ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a função é derivável em se a derivada pelo lado esquerdo ( se aproximando de 2 pela esquerda) for igual à derivada pelo lado direito ( se aproximando de 2 pela direita). Se essas duas derivadas forem iguais, então a função tem uma derivada definida em .

Passo 3

Vamos achar a derivada da função para e para .
Para :
A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pelo lado esquerdo de 2 é .

Passo 4

Agora, para :
A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pelo lado direito de 2 é .

Passo 5

Agora que temos as duas derivadas:
  • Derivada pela esquerda:
  • Derivada pela direita:
Precisamos ver se elas são iguais. Nesse caso, não é igual a .

Passo 6

Como as derivadas laterais são diferentes, isso significa que a função não tem uma derivada definida em .

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas laterais são diferentes.

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