Determine se
é derivável em
cada caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função definida por partes e queremos descobrir se ela é derivável no ponto
. Isso está dentro do assunto de Cálculo, mais especificamente de Derivadas. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a derivada da função existe desse lado e daquele lado do ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser derivável em um ponto. Basicamente, a função é derivável em
se a derivada pelo lado esquerdo (
se aproximando de 2 pela esquerda) for igual à derivada pelo lado direito (
se aproximando de 2 pela direita). Se essas duas derivadas forem iguais, então a função tem uma derivada definida em
.
Passo 3
Vamos achar a derivada da função para
e para
.
Para
:
A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pelo lado esquerdo de 2 é
.
Passo 4
Agora, para
:
A derivada dessa parte é:
Então, a derivada pelo lado direito de 2 é
.
Passo 5
Agora que temos as duas derivadas:
- Derivada pela esquerda:
- Derivada pela direita:
Precisamos ver se elas são iguais. Nesse caso,
não é igual a
.
Passo 6
Como as derivadas laterais são diferentes, isso significa que a função não tem uma derivada definida em
.
Resposta
A função
não é derivável em
porque as derivadas laterais são diferentes.