Determine se
é derivável em
cada caso:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pergunta se a função
é derivável em
. A função é definida por partes:
Para verificar a derivabilidade em
, precisamos garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as derivadas laterais sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas de funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua em
. Para isso, calculamos o limite da função quando
se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de
.
Passo 3
Calculando
usando a primeira parte da função (
):
Passo 4
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela esquerda (
):
Passo 5
Calculando o limite quando
se aproxima de 3 pela direita (
):
Passo 6
Como
, a função é contínua em
.
Passo 7
Agora, vamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita em
são iguais. Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função.
Para
:
Então, a derivada pela esquerda em
é:
Passo 8
Para
:
Então, a derivada pela direita em
é:
Passo 9
Como
, as derivadas laterais são iguais.
Resposta
A função
é derivável em
, com derivada igual a 13.