Determine se f(x) é derivável em x0 em cada caso:
f(x) = { 2x^2 + x, x <= 3; x^2 + 7x - 9, x > 3 }, x0 = 3

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pergunta se a função é derivável em . A função é definida por partes:
Para verificar a derivabilidade em , precisamos garantir que a função seja contínua nesse ponto e que as derivadas laterais sejam iguais. Vamos precisar usar conceitos de continuidade e derivadas de funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, calculamos o limite da função quando se aproxima de 3 pela esquerda e pela direita, e comparamos com o valor de .

Passo 3

Calculando usando a primeira parte da função ( ):

Passo 4

Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):

Passo 5

Calculando o limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):

Passo 6

Como , a função é contínua em .

Passo 7

Agora, vamos verificar se as derivadas pela esquerda e pela direita em são iguais. Primeiro, encontramos a derivada de cada parte da função.
Para :
Então, a derivada pela esquerda em é:

Passo 8

Para :
Então, a derivada pela direita em é:

Passo 9

Como , as derivadas laterais são iguais.

Resposta

A função é derivável em , com derivada igual a 13.

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