Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = 7 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A questão pede para calcularmos a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a regra da potência na diferenciação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Em outras palavras, ela nos diz como a função está mudando em cada ponto.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra da potência. Essa regra diz que se temos uma função do tipo , onde e são constantes, a derivada é dada por:
Nesse caso, nossa função é . Aqui, e .

Passo 4

Aplicando a regra da potência:
Simplificando para , temos:

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule os seguintes limites, caso existirem
(b) lim z 3 i (z-3 i)(2 i z+3)z^2+9
Caso a parte real P(x, y) e a parte imaginária Q(x, y) de f(z), dada em (2.1), ^60 sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
d f=partial fpartial x d x+partial fpartial y d y
Em particular, z=x+i y e barz=x-i y acarretam
d z=d x+i d y e d barz=d x-i d y
Consequentemente,
d x=12(d z+d barz) e d y=12 i(d z-d barz)
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
d f=12(partial fpartial x-i partial fpartial y) d z+12(partial fpartial x+i partial fpartial y) d barz
Portanto, podemos utilizar as notações
partialpartial z=12(partialpartial x-i partialpartial y) e partialpartial barz=12(partialpartial x+i partialpartial y)
para representarmos (2.28) por
d f=partial fpartial z d z+partial fpartial barz d barz
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) partialpartial z(4 barz^2-z^3);
(b) partialpartial barz(barz^2+z^2 barz^3);
© partialpartial z(x^2-y);
(d) partialpartial barz(x+y)
Calcule os seguintes limites, caso existirem
(d) lim z infty z^3-3 z+2 i5 z^2+1+i
Para f(z)=i Q(x, y), ^61 obtenha partialpartial z f(z), partialpartial z f(z) e partialpartial barz f(z). Conclua que
partialpartial barz f(z)=partialpartial z f(z)