Caso a parte real P(x, y) e a parte imaginária Q(x, y) de f(z), dada em (2.1), ^60 sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
d f=partial fpartial x d x+partial fpartial y d y
Em particular, z=x+i y e barz=x-i y acarretam
d z=d x+i d y e d barz=d x-i d y
Consequentemente,
d x=12(d z+d barz) e d y=12 i(d z-d barz)
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
d f=12(partial fpartial x-i partial fpartial y) d z+12(partial fpartial x+i partial fpartial y) d barz
Portanto, podemos utilizar as notações
partialpartial z=12(partialpartial x-i partialpartial y) e partialpartial barz=12(partialpartial x+i partialpartial y)
para representarmos (2.28) por
d f=partial fpartial z d z+partial fpartial barz d barz
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) partialpartial z(4 barz^2-z^3);
(b) partialpartial barz(barz^2+z^2 barz^3);
© partialpartial z(x^2-y);
(d) partialpartial barz(x+y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função complexa partialpartial z = 12(partialpartial x - i partialpartial y) e partialpartial barz = 12(partialpartial x + i partialpartial y) onde e . A questão fala sobre as derivadas parciais dessa função em relação a e usando as notações que foram apresentadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais com respeito a e usando as fórmulas:
Vamos calcular cada derivada pedida passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Calcular f(z, barz) = 4 barz^2 - z^3
Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
partial fpartial z = 12(partial fpartial x - i partial fpartial y)
Agora, usamos a notação para a derivada em relação a partialpartial z(4 barz^2) = 0 :
partialpartial z(- z^3) = -3 z^2
Mas como partialpartial z(4 barz^2 - z^3) = -3 z^2 está em termos de e , podemos derivar diretamente:
Derivada de em relação a é 0, e derivada de em relação a é 1.
Então:
Portanto:

Passo 3

Parte (b): Calcular f(z, barz) = barz^2 + z^2 barz^3
Vamos identificar a função:
partial fpartial barz = 12(partial fpartial x + i partial fpartial y)
Usando a notação para a derivada em relação a partialpartial barz(barz^2) = 2 barz :
partialpartial barz(z^2 barz^3) = 3 z^2 barz^2
Mas, novamente, derivando diretamente em termos de partialpartial barz(barz^2 + z^2 barz^3) = 2 barz + 3 z^2 barz^2 e :
Derivada de em relação a é 0, e derivada de em relação a é 1.
Então:
Somando as duas partes:

Passo 4

Parte ©: Calcular x = z + barz2 e y = z - barz2i
Primeiro, vamos reescrever f(z, barz) = x^2 - y e f(z, barz) = (z + barz2)^2 - z - barz2i em termos de f(z, barz) = z^2 + 2 z barz + barz^24 - z - barz2i e partial fpartial z = 14 cdot 2z + 2 barz4 - 12i :
= z2 + barz2 - 12i
Agora, a função:
Substituindo e :
Vamos expandir:
Agora, calculamos a derivada em relação a :

Passo 5

Parte (d): Calcular x = z + barz2 e y = z - barz2i
Primeiro, reescrevemos f(z, barz) = x + y = z + barz2 + z - barz2i e partial fpartial barz = 12 + -12i = 12 - 12i :
A função:
Agora, calculamos a derivada em relação a :
Pode-se simplificar se necessário, mas essa é a expressão da derivada.

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

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