Caso a parte real
e a parte imaginária
de
, dada em (2.1),
sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular,
e
acarretam
Consequentemente,
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a)
;
(b)
;
©
;
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função complexa
onde
e
. A questão fala sobre as derivadas parciais dessa função em relação a
e
usando as notações que foram apresentadas.
Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular as derivadas parciais com respeito a
e
usando as fórmulas:
Vamos calcular cada derivada pedida passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos identificar a função que vamos derivar:
Agora, usamos a notação para a derivada em relação a
:
Mas como
está em termos de
e
, podemos derivar diretamente:
Derivada de
em relação a
é 0, e derivada de
em relação a
é 1.
Então:
Portanto:
Passo 3
Parte (b): Calcular
Vamos identificar a função:
Usando a notação para a derivada em relação a
:
Mas, novamente, derivando diretamente em termos de
e
:
Derivada de
em relação a
é 0, e derivada de
em relação a
é 1.
Então:
Somando as duas partes:
Passo 4
Parte ©: Calcular
Primeiro, vamos reescrever
e
em termos de
e
:
Agora, a função:
Substituindo
e
:
Vamos expandir:
Agora, calculamos a derivada em relação a
:
Passo 5
Parte (d): Calcular
Primeiro, reescrevemos
e
:
A função:
Agora, calculamos a derivada em relação a
:
Pode-se simplificar se necessário, mas essa é a expressão da derivada.
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
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das seguintes funções:
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(b)
(b)
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