Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função complexa e precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , além de calcular a derivada de em relação a . Por fim, devemos mostrar que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de funções de variáveis complexas, especificamente as derivadas parciais em termos de e .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que, em funções de variável complexa, partialpartial z = 12 ( partialpartial x - i partialpartial y ) e partialpartial barz = 12 ( partialpartial x + i partialpartial y ) , onde e são variáveis reais. As derivadas parciais em relação a e são definidas como:
Essas definições são essenciais para calcular as derivadas que precisamos.
Passo 3
Agora, vamos expressar f(z) = i [ Q(x, y) ]^61 de forma mais clara. Supondo que seja uma função real que depende de e , temos:
Precisamos calcular , e .
Passo 4
Vamos calcular partialpartial z f(z) = 12 ( partialpartial x - i partialpartial y ) [ i Q(x, y)^61 ] usando a definição das derivadas parciais:
partialpartial x f(z) = i cdot 61 cdot Q(x, y)^60 cdot partial Qpartial x
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partialpartial y f(z) = i cdot 61 cdot Q(x, y)^60 cdot partial Qpartial y em relação a partialpartial z f(z) = 12 ( i cdot 61 cdot Q^60 Qx - i cdot i cdot 61 cdot Q^60 Qy ) e partialpartial z f(z) = 612 Q^60 ( i Qx + Qy ) :
Substituindo de volta na expressão da derivada em relação a :
Simplificando :
Passo 5
Agora, vamos calcular partialpartial barz f(z) = 12 ( partialpartial x + i partialpartial y ) [ i Q^61 ] :
partialpartial barz f(z) = 12 ( i cdot 61 Q^60 Qx + i cdot i cdot 61 Q^60 Qy )
Usando as derivadas parciais já calculadas:
partialpartial barz f(z) = 612 Q^60 ( i Qx - Qy )
Simplificando novamente:
Passo 6
Agora, vamos calcular f(z) = i Q^61 = -i Q^61 . Primeiro, encontramos o conjugado de partialpartial barz f(z) = 12 ( partialpartial x + i partialpartial y ) [ -i Q^61 ] :