Calcule os seguintes limites, caso existirem
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções complexas, que envolvem álgebra de números complexos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e ver se conseguimos eliminar indeterminações.
Passo 2
Observamos que o denominador
pode ser fatorado como
. Vamos fazer isso:
Isso facilita na simplificação, pois temos um fator comum
no numerador e denominador.
Passo 3
Agora, substituímos a fatoração no denominador na expressão original:
Podemos cancelar o fator
que está no numerador e denominador, assumindo que
, o que é válido para o limite.
Passo 4
Após o cancelamento, a expressão simplificada é:
Agora, podemos calcular o limite substituindo
por
.
Passo 5
Substituindo
na expressão:
Lembrando que
.
Passo 6
Simplificando com
:
Para simplificar
, multiplicamos numerador e denominador por
:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Caso a parte real
e a parte imaginária
de
, dada em (2.1),
sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
Em particular,
e
acarretam
Consequentemente,
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
Portanto, podemos utilizar as notações
para representarmos (2.28) por
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) ;
(b) ;
© ;
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Calcule os seguintes limites, caso existirem
(d)
(d)