Calcule os seguintes limites, caso existirem
(b) lim z 3 i (z-3 i)(2 i z+3)z^2+9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular o limite quando lim z 3i (z - 3i)(2iz + 3)z^2 + 9 se aproxima de da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções complexas, que envolvem álgebra de números complexos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e ver se conseguimos eliminar indeterminações.

Passo 2

Observamos que o denominador z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i) pode ser fatorado como . Vamos fazer isso:
Isso facilita na simplificação, pois temos um fator comum no numerador e denominador.

Passo 3

Agora, substituímos a fatoração no denominador na expressão original:
(z - 3i)(2iz + 3)(z - 3i)(z + 3i)
Podemos cancelar o fator que está no numerador e denominador, assumindo que , o que é válido para o limite.

Passo 4

Após o cancelamento, a expressão simplificada é:
2iz + 3z + 3i
Agora, podemos calcular o limite substituindo por .

Passo 5

Substituindo 2i(3i) + 33i + 3i = 6i^2 + 36i na expressão:
Lembrando que .

Passo 6

Simplificando com 6(-1) + 36i = -6 + 36i = -36i = -12i :
-12i = -1 cdot i2i cdot i = -i2i^2 = -i-2 = i2
Para simplificar , multiplicamos numerador e denominador por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados