Calcule os seguintes limites, caso existirem
(b) lim z 3 i (z-3 i)(2 i z+3)z^2+9

Passo 1

Primeiro, vamos entender o enunciado. Precisamos calcular o limite quando lim z 3i (z - 3i)(2iz + 3)z^2 + 9 se aproxima de da expressão:
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções complexas, que envolvem álgebra de números complexos. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão e ver se conseguimos eliminar indeterminações.

Passo 2

Observamos que o denominador z^2 + 9 = (z - 3i)(z + 3i) pode ser fatorado como . Vamos fazer isso:
Isso facilita na simplificação, pois temos um fator comum no numerador e denominador.

Passo 3

Agora, substituímos a fatoração no denominador na expressão original:
(z - 3i)(2iz + 3)(z - 3i)(z + 3i)
Podemos cancelar o fator que está no numerador e denominador, assumindo que , o que é válido para o limite.

Passo 4

Após o cancelamento, a expressão simplificada é:
2iz + 3z + 3i
Agora, podemos calcular o limite substituindo por .

Passo 5

Substituindo 2i(3i) + 33i + 3i = 6i^2 + 36i na expressão:
Lembrando que .

Passo 6

Simplificando com 6(-1) + 36i = -6 + 36i = -36i = -12i :
-12i = -1 cdot i2i cdot i = -i2i^2 = -i-2 = i2
Para simplificar , multiplicamos numerador e denominador por :

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Caso a parte real P(x, y) e a parte imaginária Q(x, y) de f(z), dada em (2.1), ^60 sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
d f=partial fpartial x d x+partial fpartial y d y
Em particular, z=x+i y e barz=x-i y acarretam
d z=d x+i d y e d barz=d x-i d y
Consequentemente,
d x=12(d z+d barz) e d y=12 i(d z-d barz)
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
d f=12(partial fpartial x-i partial fpartial y) d z+12(partial fpartial x+i partial fpartial y) d barz
Portanto, podemos utilizar as notações
partialpartial z=12(partialpartial x-i partialpartial y) e partialpartial barz=12(partialpartial x+i partialpartial y)
para representarmos (2.28) por
d f=partial fpartial z d z+partial fpartial barz d barz
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) partialpartial z(4 barz^2-z^3);
(b) partialpartial barz(barz^2+z^2 barz^3);
© partialpartial z(x^2-y);
(d) partialpartial barz(x+y)
Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = raiz(4)(x)
Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = 7 x^2
Calcule os seguintes limites, caso existirem
(d) lim z infty z^3-3 z+2 i5 z^2+1+i