Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = raiz(4)(x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, onde aprendemos a encontrar a taxa de variação de uma função em relação a . Para resolver isso, vamos usar a regra de derivação de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que facilite a aplicação da regra de derivadas. Sabemos que a raiz quarta de é o mesmo que elevado a . Então:

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra de derivação para potências. A regra diz que se , então a derivada de em relação a é:
Nesse caso, .

Passo 4

Vamos aplicar a regra com :
Simplificando o expoente:
Então, temos:

Passo 5

Podemos reescrever a expressão com o expoente negativo de uma forma mais clara, colocando no denominador:
Ou, de forma ainda mais simples:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule a derivada f'(x) das seguintes funções: f(x) = 1/x^4
Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(b) f(z) = 2x + ixy^2
Caso a parte real P(x, y) e a parte imaginária Q(x, y) de f(z), dada em (2.1), ^60 sejam diferenciáveis, podemos definir a diferencial total
d f=partial fpartial x d x+partial fpartial y d y
Em particular, z=x+i y e barz=x-i y acarretam
d z=d x+i d y e d barz=d x-i d y
Consequentemente,
d x=12(d z+d barz) e d y=12 i(d z-d barz)
Assim, ao substituirmos (2.27) em (2.25), temos
d f=12(partial fpartial x-i partial fpartial y) d z+12(partial fpartial x+i partial fpartial y) d barz
Portanto, podemos utilizar as notações
partialpartial z=12(partialpartial x-i partialpartial y) e partialpartial barz=12(partialpartial x+i partialpartial y)
para representarmos (2.28) por
d f=partial fpartial z d z+partial fpartial barz d barz
Utilize as notações supracitadas no cálculo das seguintes derivadas:
(a) partialpartial z(4 barz^2-z^3);
(b) partialpartial barz(barz^2+z^2 barz^3);
© partialpartial z(x^2-y);
(d) partialpartial barz(x+y)
Calcule os seguintes limites, caso existirem
(b) lim z 3 i (z-3 i)(2 i z+3)z^2+9