Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o maior conjunto onde a função
é derivável. Isso está dentro do estudo de funções de variável complexa, especialmente usando as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar onde uma função complexa é diferenciável.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes real e imaginária. Sabemos que uma função complexa pode ser representada como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Para nossa função:
Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que a função
seja diferenciável em um ponto
. As equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann:
-
:
-
:
Passo 6
Vamos resolver cada equação:
- Da primeira equação:
- Da segunda equação:
Passo 7
Observando as duas equações, temos que
. Substituindo
na primeira equação
, temos:
Isso é impossível, ou seja, não há nenhum ponto
que satisfaça ambas as equações simultaneamente.
Resposta
A função
não é derivável em nenhum ponto do conjunto dos números complexos.
Exercícios relacionados
Use propriedades de translação e derivadas de transformadas para calcular
ou
como indicado.
(b)
(b)
Encontre o maior conjunto onde a função
é derivável
(a)
(a)
Calcule a derivada
das seguintes funções:
Calcule a derivada
das seguintes funções: