Encontre o maior conjunto onde a função f(z) é derivável
(b) f(z) = 2x + ixy^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o maior conjunto onde a função é derivável. Isso está dentro do estudo de funções de variável complexa, especialmente usando as Equações de Cauchy-Riemann, que nos ajudam a determinar onde uma função complexa é diferenciável.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos das partes real e imaginária. Sabemos que uma função complexa pode ser representada como , onde é a parte real e é a parte imaginária.
Para nossa função:
Isso significa que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann, que são condições necessárias para que a função seja diferenciável em um ponto . As equações são:
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 4

Calculando as derivadas:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas nas Equações de Cauchy-Riemann:
  1. :
  1. :

Passo 6

Vamos resolver cada equação:
  1. Da primeira equação:
  1. Da segunda equação:

Passo 7

Observando as duas equações, temos que . Substituindo na primeira equação , temos:
Isso é impossível, ou seja, não há nenhum ponto que satisfaça ambas as equações simultaneamente.

Resposta

A função não é derivável em nenhum ponto do conjunto dos números complexos.

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