Calcule a derivada. .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a derivada da função:
O conteúdo envolvido aqui inclui regras de derivação, como a regra do produto, a regra da cadeia e derivadas de funções logarítmicas. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada de cada parte da função.

Passo 2

Vamos dividir a função em duas partes para facilitar a derivação:
Vamos derivar cada parte separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Vamos começar derivando . Para isso, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada de um produto de duas funções é:
Aqui, temos:
Então:

Passo 4

Vamos encontrar usando a regra da cadeia. Se temos uma função composta , a derivada é:
Aqui, e . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar também usando a regra da cadeia:

Passo 6

Substituindo e na expressão de :

Passo 7

Agora, vamos derivar . Usaremos a regra da cadeia novamente. Se temos , a derivada é:
Aqui, . Primeiro, vamos encontrar :
Então, a derivada de é:
Simplificando:

Passo 8

Finalmente, somamos as derivadas de e :
Substituindo e :

Resposta

A derivada da função é:

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Calcule a derivada. .
Nos exercícios abaixo, encontre por derivação implícita.
Calcule a derivada. .
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